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高斯-埃尔米特求积公式的权重与节点计算

**高斯-埃尔米特求积公式的权重与节点计算** **题目描述** 高斯-埃尔米特求积公式用于计算形如 \( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx \) 的积分，其核心思想是通过选取特定的节点（求积点）和权重，使公式对高次多项式具有最高代数精度。本题要求详细推导权重和节点的计算过程，包括正交多项式性质的应用和数值求解方法。 --- **解题过程** 1. **公式基本形式** 高斯-埃尔米特求积公式的表达式为：

2025-10-26 20:14:11

高斯-切比雪夫求积公式的误差分析

**高斯-切比雪夫求积公式的误差分析** **题目描述** 高斯-切比雪夫求积公式用于计算形如 \( \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \) 的积分，其节点为切比雪夫多项式 \( T_n(x) \) 的零点，权重为常数 \( \pi/n \)。本题要求分析该公式的截断误差 \( E_n(f) \)，并讨论误差与函数光滑性、节点数 \( n \) 的关系。 --- **解题过程** 1. **公式回顾** 高斯-切比

2025-10-26 20:08:51

双步QR算法计算矩阵特征值

**双步QR算法计算矩阵特征值** **题目描述**：给定一个n×n实矩阵A，要求计算它的所有特征值。双步QR算法是高效计算中小型稠密矩阵全部特征值的数值方法，特别适用于上Hessenberg矩阵。该算法通过隐式双步位移策略，在保持数值稳定性的同时避免复数运算，实现对实矩阵的特征值计算。 **解题过程**： **1. 矩阵预处理（上Hessenberg化）** - **目标**：将矩阵A通过正交相似变换化为上Hessenberg矩阵H（即当i>j+1时h_ij=0）。 -

2025-10-26 20:03:35

最长递增子序列的变种：最长数对链

**最长递增子序列的变种：最长数对链** **题目描述** 给出 n 个数对 (a, b) 的集合，其中每个数对满足 a < b。我们希望形成一个数对链，使得链中相邻的数对 (c, d) 和 (e, f) 满足 d [3,4]（注意不能接 [2,3] 因为 2 < 3 不满足

2025-10-26 19:58:21

高斯-拉盖尔求积公式的权重与节点计算

**高斯-拉盖尔求积公式的权重与节点计算** **题目描述** 高斯-拉盖尔求积公式是数值积分中针对特定无穷区间积分的高精度方法，其核心思想是通过选取最优的节点和权重，使得求积公式对高次多项式具有最高代数精度。具体来说，该公式用于计算形如∫₀^∞ e^(-x) f(x) dx的积分，其中f(x)是被积函数。本题目要求详细讲解高斯-拉盖尔求积公式中节点（即求积点）和权重（即求积系数）的计算过程，包括其数学原理、关键步骤及实际计算技巧。 **解题过程** 1. **问题背景与公式形式**

2025-10-26 19:53:09

括号匹配的最大长度问题

**括号匹配的最大长度问题** 题目描述：给定一个只包含 '(' 和 ')' 的字符串 s，请你找出最长有效（格式正确且连续）括号子串的长度。解题过程： 1. 问题分析：有效括号字符串需要满足： - 每个左括号 '(' 必须有对应的右括号 ')' - 左括号必须在对应的右括号之前 - 括号嵌套也必须是有效的 2. 动态规划定义：定义 dp[i] 表示以第 i 个字符结尾的最长有效括号子串的长度。 3. 状态转移方程：情况1：当 s[i] = ')' 且 s[i-1] = '(

2025-10-26 19:47:48

非线性规划中的序列二次规划法基础题

**非线性规划中的序列二次规划法基础题** **题目描述** 考虑非线性规划问题：最小化 \( f(x) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2 \) 满足约束： \( g_1(x) = x_1 + x_2 - 2 \leq 0 \) \( g_2(x) = x_1^2 - x_2 \leq 0 \) 初始点为 \( x^{(0)} = (0, 0) \)。要求使用序列二次规划（SQP）法求解该问题，详细展示第一次迭代的计算步骤。 **解题过程** SQP法通过求解一

2025-10-26 19:42:39

多边形三角剖分的最低得分问题（不同描述版本）

**多边形三角剖分的最低得分问题（不同描述版本）** 题目描述：给定一个凸多边形，其顶点按顺时针顺序编号为0到n-1，每个顶点对应一个数值。将多边形三角剖分（即用不相交的对角线将多边形划分成若干个三角形），每个三角形的得分是三个顶点数值的乘积。求所有可能的三角剖分中，总得分的最小值。解题过程： 1. 问题分析：我们需要将凸多边形分割成n-2个三角形，目标是使所有三角形得分之和最小。由于顶点编号是循环的，我们需要考虑区间动态规划。 2. 状态定义：设dp[i][j]表示从顶点i到顶点j（

2025-10-26 19:37:10

QR分解法计算矩阵特征值

**QR分解法计算矩阵特征值** 题目描述：给定一个n×n实矩阵A，要求通过QR分解法计算A的所有特征值。QR算法是一种通过迭代QR分解将矩阵逐步转化为上三角矩阵（或拟上三角矩阵）的方法，从而近似特征值。解题过程： 1. **算法原理** QR算法基于一个关键观察：如果矩阵A可以分解为A=QR（Q是正交矩阵，R是上三角矩阵），那么通过构造新矩阵A₁=RQ，A₁与A相似（因为A₁=RQ=QᵀA Q），因此特征值相同。重复这一过程，矩阵序列会收敛到上三角矩阵，对角线元素即为特征值。

2025-10-26 19:31:59

拓扑排序（Topological Sort）

**拓扑排序（Topological Sort）** 题目描述：给定一个有向无环图（DAG），包含n个节点和m条有向边，要求返回一个节点的线性序列，使得对于图中的每一条有向边(u → v)，在序列中节点u都出现在节点v之前。如果存在多个合法序列，返回任意一个即可。如果图中存在环，则无法进行拓扑排序，应返回空数组。解题过程： 1. 理解核心概念拓扑排序只适用于有向无环图（DAG）。核心要求是保持节点的"前后关系"：如果存在u → v的路径，那么u必须在v之前。这类似于任务依赖关系，必须先

2025-10-26 19:26:42

线性动态规划：打家劫舍 II

**线性动态规划：打家劫舍 II** **题目描述** 你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。这些房屋围成一个环形，即第一间房屋和最后一间房屋相邻。每个房屋内都藏有一定的现金，但你不能同时偷窃相邻的房屋（包括首尾相邻）。给定一个代表每个房屋金额的非负整数数组，计算你今晚能偷窃到的最高金额。 **示例** 输入：`[2, 3, 2]` 输出：`3` 解释：不能偷窃相邻的房屋，且首尾相邻，因此只能偷窃第2间房屋（金额为3）。 --- **解题思路** 由于房屋围成环形，

2025-10-26 19:21:32

非线性规划中的差分进化算法基础题

**非线性规划中的差分进化算法基础题** **题目描述** 考虑一个简单的非线性规划问题：最小化目标函数 \( f(x)1, x_2) = (x_1 - 2)^4 + (x_1 - 2x_2)^2 \) 满足约束条件： \( x_1^2 - x_2 \leq 0 \) \( -x_1 \leq 0 \) \( -x_2 \leq 0 \) 这是一个带不等式约束的非线性优化问题。我们将使用差分进化算法来寻找其近似全局最优解。 **解题过程** 差分进化算法是一种基于种群的随机优化技术，特别

2025-10-26 19:16:24

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