高斯-埃尔米特求积公式的权重与节点计算

字数 2142 2025-10-26 21:06:54

高斯-埃尔米特求积公式的权重与节点计算

题目描述
高斯-埃尔米特求积公式用于计算形如 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx\) 的积分，其核心思想是通过选取特定的节点（求积点）和权重，使公式对高次多项式具有最高代数精度。本题要求详细推导权重和节点的计算过程，包括正交多项式性质的应用和数值求解方法。

解题过程

公式基本形式
高斯-埃尔米特求积公式的表达式为：

\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i) \]

其中 \(x_i\) 是埃尔米特多项式 \(H_n(x)\) 的根（节点），\(w_i\) 是对应权重，\(n\) 为节点数。公式对次数不高于 \(2n-1\) 的多项式精确成立。

埃尔米特多项式的性质
- 定义：埃尔米特多项式是区间 \((-\infty, \infty)\) 上关于权函数 \(e^{-x^2}\) 的正交多项式，满足：

\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} H_m(x) H_n(x) \, dx = \begin{cases} 0 & m \neq n \\ \sqrt{\pi} 2^n n! & m = n \end{cases} \]

递推关系：

\[ H_0(x) = 1, \quad H_1(x) = 2x, \quad H_{k+1}(x) = 2xH_k(x) - 2kH_{k-1}(x) \]

 节点 $ x_i $ 是 $ H_n(x) $ 的根，且关于原点对称分布。

权重的计算原理
权重 \(w_i\) 由以下公式确定：

\[ w_i = \frac{2^{n-1} n! \sqrt{\pi}}{n^2 [H_{n-1}(x_i)]^2} \]

推导依据是使公式对基函数 \(1, x, \dots, x^{2n-1}\) 精确成立，利用正交多项式的性质简化计算。

具体计算步骤（以 n=3 为例）
- 步骤1：求节点 \(x_i\)
  计算 \(H_3(x) = 8x^3 - 12x\)。解方程 \(H_3(x) = 0\)：

\[ 8x^3 - 12x = 4x(2x^2 - 3) = 0 \implies x_1 = -\sqrt{\frac{3}{2}},\ x_2 = 0,\ x_3 = \sqrt{\frac{3}{2}} \]

 注意对称性：$ x_1 = -x_3 $, $ x_2 = 0 $。

步骤2：计算权重 \(w_i\)
需先求 \(H_2(x) = 4x^2 - 2\)。代入权重公式：

\[ w_i = \frac{2^{2} \cdot 3! \cdot \sqrt{\pi}}{3^2 [H_2(x_i)]^2} = \frac{8\sqrt{\pi}}{9 [H_2(x_i)]^2} \]

 分别代入节点：  
 - 对于 $ x_1 = -\sqrt{3/2} $:

\[ H_2(x_1) = 4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right) - 2 = 4 \implies w_1 = \frac{8\sqrt{\pi}}{9 \cdot 16} = \frac{\sqrt{\pi}}{18} \]

 - 对于 $ x_2 = 0 $:

\[ H_2(0) = -2 \implies w_2 = \frac{8\sqrt{\pi}}{9 \cdot 4} = \frac{2\sqrt{\pi}}{9} \]

 - 由对称性，$ w_3 = w_1 = \frac{\sqrt{\pi}}{18} $。

一般情况的数值求解
当 \(n\) 较大时，解析求解节点困难，需数值计算：
- 利用埃尔米特多项式的递推关系构造对称三对角矩阵（雅可比矩阵）：

\[ J = \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{1/2} & & \\ \sqrt{1/2} & 0 & \sqrt{2/2} & \\ & \sqrt{2/2} & 0 & \ddots \\ & & \ddots & \ddots & \sqrt{n/2} \\ & & & \sqrt{n/2} & 0 \end{pmatrix} \]

矩阵 \(J\) 的特征值是节点 \(x_i\)，权重 \(w_i\) 与对应特征向量的第一个分量 \(v_{i1}\) 满足：

\[ w_i = \sqrt{\pi} \, (v_{i1})^2 \]

 此方法可通过数值线性代数工具（如QR算法）高效实现。

总结
高斯-埃尔米特公式的权重和节点计算依赖于正交多项式理论，小规模时可解析求解，大规模时需借助矩阵特征问题。其高代数精度使其在物理和工程中处理无穷区间上的高斯型积分时具有重要价值。

高斯-埃尔米特求积公式的权重与节点计算题目描述高斯-埃尔米特求积公式用于计算形如 \( \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx \) 的积分，其核心思想是通过选取特定的节点（求积点）和权重，使公式对高次多项式具有最高代数精度。本题要求详细推导权重和节点的计算过程，包括正交多项式性质的应用和数值求解方法。解题过程公式基本形式高斯-埃尔米特求积公式的表达式为： \[ \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx \approx \sum_ {i=1}^n w_ i f(x_ i) \] 其中 \( x_ i \) 是埃尔米特多项式 \( H_ n(x) \) 的根（节点），\( w_ i \) 是对应权重，\( n \) 为节点数。公式对次数不高于 \( 2n-1 \) 的多项式精确成立。埃尔米特多项式的性质定义：埃尔米特多项式是区间 \( (-\infty, \infty) \) 上关于权函数 \( e^{-x^2} \) 的正交多项式，满足： \[ \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} H_ m(x) H_ n(x) \, dx = \begin{cases} 0 & m \neq n \\ \sqrt{\pi} 2^n n ! & m = n \end{cases} \] 递推关系： \[ H_ 0(x) = 1, \quad H_ 1(x) = 2x, \quad H_ {k+1}(x) = 2xH_ k(x) - 2kH_ {k-1}(x) \] 节点 \( x_ i \) 是 \( H_ n(x) \) 的根，且关于原点对称分布。权重的计算原理权重 \( w_ i \) 由以下公式确定： \[ w_ i = \frac{2^{n-1} n! \sqrt{\pi}}{n^2 [ H_ {n-1}(x_ i) ]^2} \] 推导依据是使公式对基函数 \( 1, x, \dots, x^{2n-1} \) 精确成立，利用正交多项式的性质简化计算。具体计算步骤（以 n=3 为例）步骤1：求节点 \( x_ i \) 计算 \( H_ 3(x) = 8x^3 - 12x \)。解方程 \( H_ 3(x) = 0 \)： \[ 8x^3 - 12x = 4x(2x^2 - 3) = 0 \implies x_ 1 = -\sqrt{\frac{3}{2}},\ x_ 2 = 0,\ x_ 3 = \sqrt{\frac{3}{2}} \] 注意对称性：\( x_ 1 = -x_ 3 \), \( x_ 2 = 0 \)。步骤2：计算权重 \( w_ i \) 需先求 \( H_ 2(x) = 4x^2 - 2 \)。代入权重公式： \[ w_ i = \frac{2^{2} \cdot 3! \cdot \sqrt{\pi}}{3^2 [ H_ 2(x_ i)]^2} = \frac{8\sqrt{\pi}}{9 [ H_ 2(x_ i) ]^2} \] 分别代入节点：对于 \( x_ 1 = -\sqrt{3/2} \): \[ H_ 2(x_ 1) = 4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right) - 2 = 4 \implies w_ 1 = \frac{8\sqrt{\pi}}{9 \cdot 16} = \frac{\sqrt{\pi}}{18} \] 对于 \( x_ 2 = 0 \): \[ H_ 2(0) = -2 \implies w_ 2 = \frac{8\sqrt{\pi}}{9 \cdot 4} = \frac{2\sqrt{\pi}}{9} \] 由对称性，\( w_ 3 = w_ 1 = \frac{\sqrt{\pi}}{18} \)。一般情况的数值求解当 \( n \) 较大时，解析求解节点困难，需数值计算：利用埃尔米特多项式的递推关系构造对称三对角矩阵（雅可比矩阵）： \[ J = \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{1/2} & & \\ \sqrt{1/2} & 0 & \sqrt{2/2} & \\ & \sqrt{2/2} & 0 & \ddots \\ & & \ddots & \ddots & \sqrt{n/2} \\ & & & \sqrt{n/2} & 0 \end{pmatrix} \] 矩阵 \( J \) 的特征值是节点 \( x_ i \)，权重 \( w_ i \) 与对应特征向量的第一个分量 \( v_ {i1} \) 满足： \[ w_ i = \sqrt{\pi} \, (v_ {i1})^2 \] 此方法可通过数值线性代数工具（如QR算法）高效实现。总结高斯-埃尔米特公式的权重和节点计算依赖于正交多项式理论，小规模时可解析求解，大规模时需借助矩阵特征问题。其高代数精度使其在物理和工程中处理无穷区间上的高斯型积分时具有重要价值。