高斯-拉盖尔求积公式的权重与节点计算

题目描述
高斯-拉盖尔求积公式是数值积分中针对特定无穷区间积分的高精度方法，其核心思想是通过选取最优的节点和权重，使得求积公式对高次多项式具有最高代数精度。具体来说，该公式用于计算形如∫₀^∞ e^(-x) f(x) dx的积分，其中f(x)是被积函数。本题目要求详细讲解高斯-拉盖尔求积公式中节点（即求积点）和权重（即求积系数）的计算过程，包括其数学原理、关键步骤及实际计算技巧。

解题过程

1. 问题背景与公式形式

   • 高斯-拉盖尔求积公式的通用形式为：
     ∫₀^∞ e^(-x) f(x) dx ≈ Σᵢ₌₁ⁿ wᵢ f(xᵢ)，
     其中n是节点数，xᵢ是求积节点（即拉盖尔多项式的根），wᵢ是对应的权重。
   • 该公式的代数精度为2n-1，即当f(x)是次数不超过2n-1的多项式时，公式能给出精确结果。

2. 节点计算：拉盖尔多项式的根

   • 节点xᵢ是n次拉盖尔多项式Lₙ(x)的根。拉盖尔多项式是正交多项式族，在区间[0, ∞)上关于权重函数e^(-x)正交，即∫₀^∞ e^(-x) Lₙ(x) Lₘ(x) dx = 0（当n ≠ m）。
   • 拉盖尔多项式可通过递推关系生成：
     L₀(x) = 1,
     L₁(x) = 1 - x,
     Lₖ₊₁(x) = [(2k+1 - x) Lₖ(x) - k Lₖ₋₁(x)] / (k+1)（k ≥ 1）。
   • 实际计算中，需解方程Lₙ(x) = 0来求根。由于拉盖尔多项式无解析求根公式，通常采用数值方法（如牛顿迭代法）：
     • 初始猜测：xᵢ ≈ 初始近似值（如利用多项式根的分布特性）。
     • 迭代公式：xᵢ⁽ᵏ⁺¹⁾ = xᵢ⁽ᵏ⁾ - Lₙ(xᵢ⁽ᵏ⁾) / Lₙ'(xᵢ⁽ᵏ⁾)，其中导数Lₙ'(x)可通过递推关系计算。
     • 迭代至满足精度要求（如|xᵢ⁽ᵏ⁺¹⁾ - xᵢ⁽ᵏ⁾| < 10⁻¹⁵）。

3. 权重计算：利用正交性与多项式性质

   • 权重wᵢ的公式为：wᵢ = ∫₀^∞ e^(-x) [ℓᵢ(x)]² dx，其中ℓᵢ(x)是拉盖尔插值基函数。
   • 更实用的计算方式是利用拉盖尔多项式的导数：
     wᵢ = xᵢ / [(n+1)² [Lₙ₊₁(xᵢ)]²]。
   • 计算步骤：
     a. 先求节点xᵢ（即Lₙ(x)的根）。
     b. 计算Lₙ₊₁(xᵢ)的值（通过递推关系）。
     c. 代入公式计算wᵢ。
   • 注意：权重需满足归一化条件Σwᵢ = 1（对应f(x)=1时的积分值）。

4. 实际计算技巧与示例（以n=2为例）

   • 节点计算：
     • 二次拉盖尔多项式L₂(x) = (1/2)(x² - 4x + 2)。
     • 解方程x² - 4x + 2 = 0，得根x₁ ≈ 0.5858, x₂ ≈ 3.4142。
   • 权重计算：
     • 计算L₃(x) = (1/6)(-x³ + 9x² - 18x + 6)。
     • 代入公式：
       w₁ = x₁ / [3² · L₃(x₁)²] ≈ 0.8536,
       w₂ = x₂ / [3² · L₃(x₂)²] ≈ 0.1464。
     • 验证：w₁ + w₂ = 1。
   • 对于更大n，需编程实现递推与迭代（如使用Python的SciPy库可直接调用roots_laguerre函数）。

5. 误差与适用性说明

   • 误差项涉及f(x)的2n阶导数，因此对光滑函数效果最佳。
   • 若积分形式为∫₀^∞ x^α e^(-x) f(x) dx（α ≠ 0），需使用广义拉盖尔多项式（计算过程类似，但正交权重变为x^α e^(-x)）。

通过以上步骤，可系统掌握高斯-拉盖尔求积公式的节点与权重计算，为实际数值积分应用奠定基础。