高斯-切比雪夫求积公式的误差分析 题目描述 高斯-切比雪夫求积公式用于计算形如 \( \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \) 的积分，其节点为切比雪夫多项式 \( T_ n(x) \) 的零点，权重为常数 \( \pi/n \)。本题要求分析该公式的截断误差 \( E_ n(f) \)，并讨论误差与函数光滑性、节点数 \( n \) 的关系。 解题过程 公式回顾 高斯-切比雪夫求积公式的表达式为： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^{n} f\left( \cos \frac{(2k-1)\pi}{2n} \right) \] 节点 \( x_ k = \cos \frac{(2k-1)\pi}{2n} \) 是 \( n \) 阶切比雪夫多项式 \( T_ n(x) = \cos(n \arccos x) \) 的零点。该公式具有最高代数精度 \( 2n-1 \)。 误差表达式推导 误差项 \( E_ n(f) \) 可表示为： \[ E_ n(f) = \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx - \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^{n} f(x_ k) = \frac{2\pi}{2^{2n}(2n) !} f^{(2n)}(\xi), \quad \xi \in (-1,1) \] 推导思路 ： 利用正交多项式的性质，误差与 \( f(x) \) 的 \( 2n \) 阶导数相关。 切比雪夫多项式的首项系数为 \( 2^{n-1} \)，其平方的积分值为 \( \pi/2 \)（归一化后）。 通过比较 \( f(x) \) 与 \( 2n \) 次多项式的插值误差，结合权函数 \( 1/\sqrt{1-x^2} \) 的积分，得到误差系数。 误差的依赖关系 节点数 \( n \) 的影响 ：误差分母包含 \( 2^{2n} \) 和 \( (2n) ! \)，因此随 \( n \) 增大误差快速衰减。 函数光滑性 ：若 \( f(x) \) 是多项式且次数 \( \leq 2n-1 \)，误差为零；若 \( f^{(2n)}(x) \) 有界，误差由 \( \max |f^{(2n)}(x)| \) 控制。 示例对比 ： 设 \( f(x) = e^x \)，则 \( f^{(2n)}(\xi) = e^\xi \leq e \)。取 \( n=5 \) 时，误差量级约为 \( \frac{2\pi e}{2^{10} \cdot 10 !} \approx 10^{-10} \)。 与普通高斯公式的差异 高斯-勒让德公式的误差为 \( \frac{2^{2n+1}(n!)^4}{(2n+1)[ (2n)! ]^3} f^{(2n)}(\xi) \)，衰减速度慢于高斯-切比雪夫公式（因含 \( 2^{2n} \) 因子）。 切比雪夫公式针对特定权函数优化，故在积分含 \( 1/\sqrt{1-x^2} \) 时精度更高。 实际应用中的注意事项 当 \( f(x) \) 在端点附近有奇异性时，需验证 \( f^{(2n)}(x) \) 的性态。 若积分区间为 \( [ a,b] \)，需通过变量变换转化为 \( [ -1,1 ] \)，此时误差表达式会相应缩放。 总结 高斯-切比雪夫求积公式的误差由函数的高阶导数和节点数共同决定，其指数级衰减特性使其在处理光滑函数时非常高效。实际应用中需根据 \( f(x) \) 的光滑性选择适当的 \( n \)。