非线性规划中的差分进化算法基础题 题目描述 考虑一个简单的非线性规划问题： 最小化目标函数 \( f(x)1, x_ 2) = (x_ 1 - 2)^4 + (x_ 1 - 2x_ 2)^2 \) 满足约束条件： \( x_ 1^2 - x_ 2 \leq 0 \) \( -x_ 1 \leq 0 \) \( -x_ 2 \leq 0 \) 这是一个带不等式约束的非线性优化问题。我们将使用差分进化算法来寻找其近似全局最优解。 解题过程 差分进化算法是一种基于种群的随机优化技术，特别适合处理非线性、不可微的复杂优化问题。它的核心思想是通过种群个体间的向量差分与交叉变异来探索解空间。 1. 算法初始化 差分进化算法首先需要在可行域内随机生成一个初始种群。每个个体代表一个潜在解。 设定种群大小 \( NP = 50 \)。 每个个体是一个二维向量 \( \mathbf{x} i = (x {i,1}, x_ {i,2}) \)，其中 \( i = 1, 2, \dots, NP \)。 在变量边界内随机初始化每个个体。根据约束 \( -x_ 1 \leq 0 \) 和 \( -x_ 2 \leq 0 \)，我们知道 \( x_ 1, x_ 2 \geq 0 \)。为了提供一个合理的初始范围，我们设定 \( x_ 1, x_ 2 \in [ 0, 5 ] \)。 \( x_ {i,j} = \text{rand}(0, 5) \)，其中 \( \text{rand}(a, b) \) 生成区间 [ a, b ] 上的均匀分布随机数。 2. 变异操作 对于种群中的每一个个体 \( \mathbf{x}_ i \)（称为目标向量），算法通过差分策略生成一个变异向量 \( \mathbf{v}_ i \)。 我们采用最经典的“DE/rand/1”变异策略： \( \mathbf{v} i = \mathbf{x} {r1} + F \cdot (\mathbf{x} {r2} - \mathbf{x} {r3}) \) 其中，索引 \( r1, r2, r3 \) 是从种群中随机选择的三个互不相同的整数，且它们都不等于当前目标向量的索引 \( i \)。 \( F \) 是缩放因子，通常取值在 [ 0, 2] 之间，这里我们设 \( F = 0.8 \)。它控制差分向量 \( (\mathbf{x} {r2} - \mathbf{x} {r3}) \) 的影响程度。 示例：假设为 \( \mathbf{x} 1 \) 生成变异向量，随机选择 \( r1=10, r2=25, r3=37 \)，且 \( \mathbf{x} {10} = (1.2, 0.8), \mathbf{x} {25} = (3.1, 1.5), \mathbf{x} {37} = (0.5, 2.0) \)，则 \( \mathbf{v}_ 1 = (1.2, 0.8) + 0.8 * [ (3.1, 1.5) - (0.5, 2.0)] = (1.2, 0.8) + 0.8 * (2.6, -0.5) = (1.2+2.08, 0.8-0.4) = (3.28, 0.4) \)。 3. 交叉操作 变异向量 \( \mathbf{v}_ i \) 与目标向量 \( \mathbf{x}_ i \) 进行交叉操作，生成试验向量 \( \mathbf{u}_ i \)。 我们采用二项交叉： \( u_ {i,j} = \begin{cases} v_ {i,j} & \text{if } \text{rand}(0,1) \leq CR \text{ or } j = j_ {rand} \\ x_ {i,j} & \text{otherwise} \end{cases} \) 其中，\( CR \) 是交叉概率，通常取值在 [ 0,1 ] 之间，这里我们设 \( CR = 0.9 \)。 \( j_ {rand} \) 是从维度索引 {1, 2} 中随机选择的一个整数，确保试验向量 \( \mathbf{u}_ i \) 至少有一维来自变异向量 \( \mathbf{v}_ i \)。 示例：假设目标向量 \( \mathbf{x}_ 1 = (0.8, 1.6) \)，变异向量 \( \mathbf{v} 1 = (3.28, 0.4) \)，\( CR=0.9 \)，随机生成 \( j {rand}=1 \)。 对于 j=1：生成随机数 0.85，由于 0.85 ≤ 0.9，所以 \( u_ {1,1} = v_ {1,1} = 3.28 \)。 对于 j=2：生成随机数 0.92，由于 0.92 > 0.9，所以 \( u_ {1,2} = x_ {1,2} = 1.6 \)。 因此，试验向量 \( \mathbf{u}_ 1 = (3.28, 1.6) \)。 4. 选择操作 比较试验向量 \( \mathbf{u}_ i \) 和目标向量 \( \mathbf{x}_ i \) 的适应度值（即目标函数值），选择更优者进入下一代种群。 由于原问题是约束优化，我们需要处理约束。这里采用罚函数法将约束问题转化为无约束问题。定义罚函数： \( P(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}) + \mu \cdot \sum_ {k=1}^{3} [ \max(0, g_ k(\mathbf{x})) ]^2 \) 其中，\( g_ 1(\mathbf{x}) = x_ 1^2 - x_ 2 \), \( g_ 2(\mathbf{x}) = -x_ 1 \), \( g_ 3(\mathbf{x}) = -x_ 2 \)。\( \mu \) 是罚因子，是一个很大的正数（例如 \( \mu = 10^6 \)）。如果解违反约束，罚函数值会很大。 计算 \( \mathbf{u}_ i \) 和 \( \mathbf{x}_ i \) 的罚函数值 \( P(\mathbf{u}_ i) \) 和 \( P(\mathbf{x}_ i) \)。 进行贪婪选择： \( \mathbf{x}_ i^{new} = \begin{cases} \mathbf{u}_ i & \text{if } P(\mathbf{u}_ i) \leq P(\mathbf{x}_ i) \\ \mathbf{x}_ i & \text{otherwise} \end{cases} \) 示例：计算 \( P(\mathbf{u}_ 1) \) 和 \( P(\mathbf{x}_ 1) \)。假设 \( P(\mathbf{u}_ 1) = 35.2 \)，\( P(\mathbf{x}_ 1) = 48.1 \)。由于 \( 35.2 \leq 48.1 \)，则下一代中的新个体 \( \mathbf{x}_ 1^{new} = \mathbf{u}_ 1 = (3.28, 1.6) \)。 5. 迭代与终止 重复步骤2至4，直到满足终止条件（例如，达到最大迭代次数 \( G_ {max} = 1000 \)，或种群中最优解在连续多代内改进非常小）。 每一代，种群中的所有个体都经过上述变异、交叉、选择过程。 算法最终输出整个进化过程中找到的具有最小罚函数值的个体作为近似最优解。 结果分析 对于本题，理论上的精确最优解在 \( (x_ 1, x_ 2) \approx (1.765, 3.115) \) 附近（满足 \( x_ 1^2 - x_ 2 = 0 \) 约束）。差分进化算法通过上述步骤进行搜索，最终种群会收敛到该点附近。由于是随机算法，每次运行结果可能有细微差异，但通常会非常接近理论最优解。该算法有效地避免了初值敏感性问题，具有较强的全局搜索能力。