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最长有效括号子串

**最长有效括号子串** **题目描述** 给定一个只包含 '(' 和 ')' 的字符串 s，找出最长有效（格式正确且连续）括号子串的长度。 **解题过程** 1. **问题分析** 有效括号字符串需满足： * 每个左括号 '(' 必须有对应的右括号 ')'。 * 左括号必须在对应的右括号之前。 * 有效的子串必须是连续的。 2. **动态规划定义** 我们使用一个数组 `dp`，其中 `dp[i]` 表示 **以字

2025-10-26 09:48:52

哈希算法题目：最长不含重复字符的子字符串

**哈希算法题目：最长不含重复字符的子字符串** 题目描述：给定一个字符串，请你找出其中不含有重复字符的最长子串的长度。解题过程： 1. 问题分析 - 我们需要在字符串中找到一个连续的子串，该子串中的所有字符都是唯一的 - 要求返回这个最长无重复字符子串的长度 - 例如："abcabcbb"的最长无重复子串是"abc"，长度为3 2. 哈希表解决方案思路 - 使用滑动窗口技术，维护一个窗口[left, right] - 用哈希表记录每个字符最近出现的位置 - 当遇到重复字符时，移动左指

2025-10-26 09:43:29

LU分解法解线性方程组

**LU分解法解线性方程组** **题目描述** 给定一个线性方程组 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)，其中 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 的可逆方阵，\( \mathbf{b} \) 是已知向量。要求使用LU分解法求解未知向量 \( \mathbf{x} \)。LU分解将矩阵 \( A \) 分解为一个下三角矩阵 \( L \) 和一个上三角矩阵 \( U \) 的乘积，即 \( A = LU \)，然后通过前向替换和后向替换高效求

2025-10-26 09:38:20

高斯-拉盖尔求积公式

**高斯-拉盖尔求积公式** **题目描述** 高斯-拉盖尔求积公式是数值积分中高斯求积法的一种，专门用于计算形如 \[ \int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx \] 的无穷区间积分。该公式通过选取拉盖尔多项式的零点作为节点，并搭配特定权重，实现对被积函数 \( f(x) \) 的高精度逼近。要求： 1. 解释公式的构造原理； 2. 以 \( n=2 \) 为例，演示具体计算过程； 3. 分析其与普通高斯求积公式的区别。 --- **

2025-10-26 09:33:02

哈希算法题目：最长重复子数组

**哈希算法题目：最长重复子数组** **题目描述** 给定两个整数数组 `nums1` 和 `nums2`，返回两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度。子数组要求是连续的。例如： - 输入：nums1 = [1,2,3,2,1], nums2 = [3,2,1,4,7] - 输出：3 - 解释：最长重复子数组为 [3,2,1]，长度为 3。 **解题过程** **1. 问题分析** 子数组是连续序列，因此需要找到两个数组中连续相同的片段。暴力解法是枚举所有可能的子数组

2025-10-26 09:27:48

LeetCode 37. 解数独

**LeetCode 37. 解数独** **题目描述** 请你编写一个程序，通过填充空格来解决数独问题。数独的解法需要遵循以下规则： 1. 数字 `1-9` 在每一行只能出现一次。 2. 数字 `1-9` 在每一列只能出现一次。 3. 数字 `1-9` 在每一个以粗实线分隔的 `3x3` 宫（也称为“块”或“盒子”）内只能出现一次。题目会提供一个部分填充的 `9x9` 数独板，用二维字符数组 `board` 表示。其中，字符 `'.'` 表示空格（需要填充），字符 `'1'` 到

2025-10-26 09:22:33

线性动态规划：俄罗斯套娃信封问题

**线性动态规划：俄罗斯套娃信封问题** **题目描述** 给定一个二维整数数组 `envelopes`，其中 `envelopes[i] = [w_i, h_i]` 表示第 i 个信封的宽度和高度。当一个信封的宽度和高度都大于另一个信封时，它可以套进另一个信封里，如同俄罗斯套娃一样。请计算最多能有多少个信封组成一组“俄罗斯套娃”信封（即一个信封套在另一个信封里）。注意：信封不能旋转。 **示例** 输入：`envelopes = [[5,4],[6,4],[6,7],[2,3]]`

2025-10-26 09:17:10

幂迭代法求矩阵主特征值

**幂迭代法求矩阵主特征值** **题目描述**：幂迭代法是一种用于计算矩阵主特征值（模最大的特征值）及其对应特征向量的迭代算法。给定一个n×n矩阵A，假设它有一个严格占优的主特征值λ₁（即|λ₁| > |λ₂| ≥ ... ≥ |λₙ|），幂迭代法通过不断将矩阵A作用于一个初始向量，逐步逼近λ₁及其特征向量。 **解题过程**： **步骤1：算法原理理解** - 设A有特征值λ₁, λ₂, ..., λₙ，对应特征向量v₁, v₂, ..., vₙ - 任意初始向量x⁽⁰⁾可表示为：x

2025-10-26 09:11:53

区间动态规划例题：最长公共子序列问题

**区间动态规划例题：最长公共子序列问题** **题目描述** 给定两个字符串 `s1` 和 `s2`，长度分别为 `m` 和 `n`。要求找到它们的最长公共子序列（LCS）的长度。子序列是指从原字符串中删除零个或多个字符（不改变剩余字符的相对顺序）得到的新字符串。例如，`s1 = "abcde"`，`s2 = "ace"` 的 LCS 是 `"ace"`，长度为 3。 --- **解题过程** **1. 定义状态** 设 `dp[i][j]` 表示 `s1` 的前 `i`

2025-10-26 09:06:39

高斯-切比雪夫求积公式

**高斯-切比雪夫求积公式** **题目描述** 计算积分 \( I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \) 的近似值，其中 \( f(x) \) 是区间 \([-1,1]\) 上的连续函数。要求利用高斯-切比雪夫求积公式，在给定函数 \( f(x) = x^2 + 1 \) 时，分别用 \( n=2 \) 和 \( n=3 \) 的求积节点计算积分值，并分析其精度。 --- **解题过程** **1. 理解公式原理*

2025-10-26 09:01:20

QR算法计算矩阵特征值

**QR算法计算矩阵特征值** 题目描述：给定一个n×n实矩阵A，要求计算A的所有特征值。QR算法是一种通过迭代将矩阵收敛到上三角形式（或实Schur形式）来求解特征值的方法。解题过程： 1. **算法原理** QR算法的核心思想是通过一系列正交相似变换，逐步将矩阵A转化为上三角矩阵（或分块上三角矩阵）。由于相似变换保持特征值不变，最终得到的上三角矩阵对角线元素就是A的特征值。 2. **基本QR迭代步骤** - 步骤1：对矩阵A进行QR分解将当前矩阵A_k分解为正交

2025-10-26 08:56:02

区间动态规划例题：最小代价构造回文串问题

**区间动态规划例题：最小代价构造回文串问题** **题目描述** 给定一个字符串`s`，每次操作可以在任意位置插入一个字符，求将`s`变成回文串所需的最少插入次数。例如，字符串"ab"插入1次（变成"aba"或"bab"）即可成为回文串。 --- **解题思路** 1. **问题分析** 回文串的特点是正读反读相同。要使`s`成为回文串，需要保证`s[i]`和`s[j]`对称（即相等）。如果`s[i] != s[j]`，可以通过在某一侧插入字符使其匹配。关键

2025-10-26 08:50:53

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