高斯-切比雪夫求积公式

字数 2405 2025-10-26 10:28:42

高斯-切比雪夫求积公式

题目描述
计算积分 \(I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 的近似值，其中 \(f(x)\) 是区间 \([-1,1]\) 上的连续函数。要求利用高斯-切比雪夫求积公式，在给定函数 \(f(x) = x^2 + 1\) 时，分别用 \(n=2\) 和 \(n=3\) 的求积节点计算积分值，并分析其精度。

解题过程

1. 理解公式原理
高斯-切比雪夫求积公式用于计算形如 \(\int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 的积分。其核心思想是：

求积节点：取 \(n\) 次切比雪夫多项式 \(T_n(x) = \cos(n \arccos x)\) 的零点（即切比雪夫点）：

\[ x_k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right), \quad k=1,2,\dots,n. \]

求积系数：所有权重相等，且为 \(w_k = \frac{\pi}{n}\)。
求积公式：

\[ \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^n f(x_k). \]

该公式对次数低于 \(2n\) 的多项式精确成立。

2. 计算 \(n=2\) 时的近似值
步骤1：确定节点
代入 \(n=2\)：

\[x_1 = \cos\left( \frac{2\cdot1-1}{2\cdot 2} \pi \right) = \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071, \]

\[x_2 = \cos\left( \frac{3\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.7071. \]

步骤2：计算函数值
给定 \(f(x) = x^2 + 1\)：

\[f(x_1) = (0.7071)^2 + 1 = 0.5 + 1 = 1.5, \]

\[f(x_2) = (-0.7071)^2 + 1 = 0.5 + 1 = 1.5. \]

步骤3：加权求和
权重 \(w_k = \frac{\pi}{2}\)：

\[I \approx \frac{\pi}{2} \left( 1.5 + 1.5 \right) = \frac{\pi}{2} \cdot 3 = \frac{3\pi}{2} \approx 4.7124. \]

3. 计算 \(n=3\) 时的近似值
步骤1：确定节点
代入 \(n=3\)：

\[x_1 = \cos\left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660, \]

\[x_2 = \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0, \]

\[x_3 = \cos\left( \frac{5\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.8660. \]

步骤2：计算函数值

\[f(x_1) = (0.8660)^2 + 1 = 0.75 + 1 = 1.75, \]

\[f(x_2) = 0^2 + 1 = 1, \]

\[f(x_3) = (-0.8660)^2 + 1 = 0.75 + 1 = 1.75. \]

步骤3：加权求和
权重 \(w_k = \frac{\pi}{3}\)：

\[I \approx \frac{\pi}{3} \left( 1.75 + 1 + 1.75 \right) = \frac{\pi}{3} \cdot 4.5 = 1.5\pi \approx 4.7124. \]

4. 精度分析
步骤1：解析解对比
精确计算原积分：

\[I = \int_{-1}^{1} \frac{x^2 + 1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx. \]

利用对称性和三角换元 \(x = \sin\theta\)（或查标准积分表），可得：

\[\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \pi, \quad \int_{-1}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{\pi}{2}, \]

因此 \(I = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \approx 4.7124\)。

步骤2：误差分析

\(n=2\) 和 \(n=3\) 的结果均与精确值一致，因为 \(f(x) = x^2 + 1\) 是二次多项式，而高斯-切比雪夫公式对次数低于 \(2n\) 的多项式精确成立。当 \(n=2\) 时，可精确积分次数 \(\leq 3\) 的多项式；当 \(n=3\) 时，可精确积分次数 \(\leq 5\) 的多项式。
若 \(f(x)\) 是更高次多项式（如 \(x^4\)），则需增加 \(n\) 以提高精度。

结论
高斯-切比雪夫公式通过特定节点和等权重设计，高效处理带权函数 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 的积分。对于低次多项式，即使较小的 \(n\) 也能得到精确结果。

高斯-切比雪夫求积公式题目描述计算积分 \( I = \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \) 的近似值，其中 \( f(x) \) 是区间 \([ -1,1 ]\) 上的连续函数。要求利用高斯-切比雪夫求积公式，在给定函数 \( f(x) = x^2 + 1 \) 时，分别用 \( n=2 \) 和 \( n=3 \) 的求积节点计算积分值，并分析其精度。解题过程 1. 理解公式原理高斯-切比雪夫求积公式用于计算形如 \( \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \) 的积分。其核心思想是：求积节点：取 \( n \) 次切比雪夫多项式 \( T_ n(x) = \cos(n \arccos x) \) 的零点（即切比雪夫点）： \[ x_ k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right), \quad k=1,2,\dots,n. \] 求积系数：所有权重相等，且为 \( w_ k = \frac{\pi}{n} \)。求积公式： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^n f(x_ k). \] 该公式对次数低于 \( 2n \) 的多项式精确成立。 2. 计算 \( n=2 \) 时的近似值步骤1：确定节点代入 \( n=2 \)： \[ x_ 1 = \cos\left( \frac{2\cdot1-1}{2\cdot 2} \pi \right) = \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071, \] \[ x_ 2 = \cos\left( \frac{3\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.7071. \] 步骤2：计算函数值给定 \( f(x) = x^2 + 1 \)： \[ f(x_ 1) = (0.7071)^2 + 1 = 0.5 + 1 = 1.5, \] \[ f(x_ 2) = (-0.7071)^2 + 1 = 0.5 + 1 = 1.5. \] 步骤3：加权求和权重 \( w_ k = \frac{\pi}{2} \)： \[ I \approx \frac{\pi}{2} \left( 1.5 + 1.5 \right) = \frac{\pi}{2} \cdot 3 = \frac{3\pi}{2} \approx 4.7124. \] 3. 计算 \( n=3 \) 时的近似值步骤1：确定节点代入 \( n=3 \)： \[ x_ 1 = \cos\left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660, \] \[ x_ 2 = \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0, \] \[ x_ 3 = \cos\left( \frac{5\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.8660. \] 步骤2：计算函数值 \[ f(x_ 1) = (0.8660)^2 + 1 = 0.75 + 1 = 1.75, \] \[ f(x_ 2) = 0^2 + 1 = 1, \] \[ f(x_ 3) = (-0.8660)^2 + 1 = 0.75 + 1 = 1.75. \] 步骤3：加权求和权重 \( w_ k = \frac{\pi}{3} \)： \[ I \approx \frac{\pi}{3} \left( 1.75 + 1 + 1.75 \right) = \frac{\pi}{3} \cdot 4.5 = 1.5\pi \approx 4.7124. \] 4. 精度分析步骤1：解析解对比精确计算原积分： \[ I = \int_ {-1}^{1} \frac{x^2 + 1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx. \] 利用对称性和三角换元 \( x = \sin\theta \)（或查标准积分表），可得： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \pi, \quad \int_ {-1}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{\pi}{2}, \] 因此 \( I = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \approx 4.7124 \)。步骤2：误差分析 \( n=2 \) 和 \( n=3 \) 的结果均与精确值一致，因为 \( f(x) = x^2 + 1 \) 是二次多项式，而高斯-切比雪夫公式对次数低于 \( 2n \) 的多项式精确成立。当 \( n=2 \) 时，可精确积分次数 \( \leq 3 \) 的多项式；当 \( n=3 \) 时，可精确积分次数 \( \leq 5 \) 的多项式。若 \( f(x) \) 是更高次多项式（如 \( x^4 \)），则需增加 \( n \) 以提高精度。结论高斯-切比雪夫公式通过特定节点和等权重设计，高效处理带权函数 \( 1/\sqrt{1-x^2} \) 的积分。对于低次多项式，即使较小的 \( n \) 也能得到精确结果。