幂迭代法求矩阵主特征值

题目描述：
幂迭代法是一种用于计算矩阵主特征值（模最大的特征值）及其对应特征向量的迭代算法。给定一个n×n矩阵A，假设它有一个严格占优的主特征值λ₁（即|λ₁| > |λ₂| ≥ ... ≥ |λₙ|），幂迭代法通过不断将矩阵A作用于一个初始向量，逐步逼近λ₁及其特征向量。

解题过程：

步骤1：算法原理理解

• 设A有特征值λ₁, λ₂, ..., λₙ，对应特征向量v₁, v₂, ..., vₙ
• 任意初始向量x⁽⁰⁾可表示为：x⁽⁰⁾ = c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₙvₙ
• 连续左乘A得到：Aᵏx⁽⁰⁾ = c₁λ₁ᵏv₁ + c₂λ₂ᵏv₂ + ... + cₙλₙᵏvₙ
• 当k→∞时，由于|λ₁| > |λ₂| ≥ ... ≥ |λₙ|，Aᵏx⁽⁰⁾ ≈ c₁λ₁ᵏv₁

步骤2：算法初始化

1. 选择初始向量x₀（通常取随机向量，如[1, 1, ..., 1]ᵀ）
2. 设置收敛容差ε（如10⁻⁶）和最大迭代次数N
3. 令k = 0

步骤3：迭代计算过程
对于每次迭代k = 0, 1, 2, ..., N-1：

1. 矩阵乘法：yₖ₊₁ = A·xₖ

   • 将矩阵A与当前向量xₖ相乘得到新向量yₖ₊₁

2. 向量归一化：xₖ₊₁ = yₖ₊₁ / ||yₖ₊₁||

   • 使用2-范数：||yₖ₊₁||₂ = √(Σyᵢ²)
   • 防止向量元素在迭代过程中过大或过小

3. 特征值估计：λₖ₊₁ = (xₖ₊₁ᵀ·A·xₖ₊₁) / (xₖ₊₁ᵀ·xₖ₊₁)

   • 利用Rayleigh商公式：λ ≈ (xᵀAx)/(xᵀx)
   • 当x接近特征向量时，该比值接近特征值

步骤4：收敛判断

1. 计算相邻两次迭代的特征值相对误差：
   error = |λₖ₊₁ - λₖ| / |λₖ₊₁|

2. 如果error < ε，则收敛，输出结果：

   • 主特征值：λ = λₖ₊₁
   • 对应特征向量：v = xₖ₊₁

3. 如果k = N-1仍未收敛，报"未在最大迭代次数内收敛"

步骤5：数值稳定性考虑

• 每次迭代后必须归一化，防止数值溢出
• 当|λ₁| < 1时，向量范数会衰减，需通过归一化保持稳定性
• 当|λ₁| > 1时，向量范数会增长，归一化可控制数值范围

步骤6：算法特点分析

• 优点：实现简单，内存需求低（只需存储矩阵和几个向量）
• 限制：只能求主特征值，收敛速度取决于|λ₂/λ₁|（比值越小收敛越快）
• 应用：常用于大规模稀疏矩阵的主特征值计算

通过以上步骤的迭代计算，幂迭代法能够有效地逼近矩阵的主特征值及其对应的特征向量。