LU分解法解线性方程组

字数 2176 2025-10-26 10:28:42

LU分解法解线性方程组

题目描述
给定一个线性方程组 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)，其中 \(A\) 是一个 \(n \times n\) 的可逆方阵，\(\mathbf{b}\) 是已知向量。要求使用LU分解法求解未知向量 \(\mathbf{x}\)。LU分解将矩阵 \(A\) 分解为一个下三角矩阵 \(L\) 和一个上三角矩阵 \(U\) 的乘积，即 \(A = LU\)，然后通过前向替换和后向替换高效求解。

解题过程

LU分解原理
- 目标：将 \(A\) 分解为 \(L\) 和 \(U\)，其中 \(L\) 是主对角线为1的下三角矩阵，\(U\) 是上三角矩阵。
- 分解依据：通过高斯消元法（不进行行交换）将 \(A\) 化为上三角矩阵 \(U\)，消元过程中的乘数构成 \(L\) 的严格下三角部分。
- 示例矩阵：

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]

分解步骤
- 步骤1：消去第一列
  消去 \(a_{21}\) 和 \(a_{31}\)：
  - 乘数 \(l_{21} = \frac{-3}{2} = -1.5\)，将第一行乘以 \(-l_{21}\) 加到第二行：

\[ \text{新第二行} = [-3, -1, 2] - (-1.5) \times [2, 1, -1] = [0, 0.5, 0.5] \]

 - 乘数 $ l_{31} = \frac{-2}{2} = -1 $，将第一行乘以 $ -l_{31} $ 加到第三行：

\[ \text{新第三行} = [-2, 1, 2] - (-1) \times [2, 1, -1] = [0, 2, 1] \]

 此时矩阵变为：

\[ A^{(1)} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0.5 & 0.5 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]

步骤2：消去第二列
消去 \(a_{32}\)：
- 乘数 \(l_{32} = \frac{2}{0.5} = 4\)，将第二行乘以 \(-l_{32}\) 加到第三行：

\[ \text{新第三行} = [0, 2, 1] - 4 \times [0, 0.5, 0.5] = [0, 0, -1] \]

 得到上三角矩阵 $ U $：

\[ U = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0.5 & 0.5 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \]

 - 下三角矩阵 $ L $ 由乘数构成：

\[ L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1.5 & 1 & 0 \\ -1 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]

 验证：$ LU = A $。

求解线性方程组
原方程 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 化为 \(LU\mathbf{x} = \mathbf{b}\)。令 \(U\mathbf{x} = \mathbf{y}\)，分两步求解：
- 前向替换（解 \(L\mathbf{y} = \mathbf{b}\)）
  假设 \(\mathbf{b} = [8, -11, -3]^T\)，解下三角系统：

\[ \begin{cases} y_1 = 8 \\ -1.5y_1 + y_2 = -11 \Rightarrow y_2 = -11 + 1.5 \times 8 = 1 \\ -y_1 + 4y_2 + y_3 = -3 \Rightarrow y_3 = -3 + 8 - 4 \times 1 = 1 \end{cases} \]

 得到 $ \mathbf{y} = [8, 1, 1]^T $。

后向替换（解 \(U\mathbf{x} = \mathbf{y}\)）
解上三角系统：

\[ \begin{cases} 2x_1 + x_2 - x_3 = 8 \\ 0.5x_2 + 0.5x_3 = 1 \\ -x_3 = 1 \Rightarrow x_3 = -1 \end{cases} \]

 代入第二式： $ 0.5x_2 + 0.5 \times (-1) = 1 \Rightarrow x_2 = 3 $  
 代入第一式： $ 2x_1 + 3 - (-1) = 8 \Rightarrow x_1 = 2 $  
 最终解： $ \mathbf{x} = [2, 3, -1]^T $。

算法总结
- LU分解避免了高斯消元中重复处理 \(\mathbf{b}\) 的步骤，适用于多次求解同一系数矩阵 \(A\) 不同 \(\mathbf{b}\) 的问题。
- 若分解过程中出现主元为0，需结合选主元（如PLU分解）保证稳定性。

LU分解法解线性方程组题目描述给定一个线性方程组 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)，其中 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 的可逆方阵，\( \mathbf{b} \) 是已知向量。要求使用LU分解法求解未知向量 \( \mathbf{x} \)。LU分解将矩阵 \( A \) 分解为一个下三角矩阵 \( L \) 和一个上三角矩阵 \( U \) 的乘积，即 \( A = LU \)，然后通过前向替换和后向替换高效求解。解题过程 LU分解原理目标：将 \( A \) 分解为 \( L \) 和 \( U \)，其中 \( L \) 是主对角线为1的下三角矩阵，\( U \) 是上三角矩阵。分解依据：通过高斯消元法（不进行行交换）将 \( A \) 化为上三角矩阵 \( U \)，消元过程中的乘数构成 \( L \) 的严格下三角部分。示例矩阵： \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \] 分解步骤步骤1：消去第一列消去 \( a_ {21} \) 和 \( a_ {31} \)：乘数 \( l_ {21} = \frac{-3}{2} = -1.5 \)，将第一行乘以 \( -l_ {21} \) 加到第二行： \[ \text{新第二行} = [ -3, -1, 2] - (-1.5) \times [ 2, 1, -1] = [ 0, 0.5, 0.5 ] \] 乘数 \( l_ {31} = \frac{-2}{2} = -1 \)，将第一行乘以 \( -l_ {31} \) 加到第三行： \[ \text{新第三行} = [ -2, 1, 2] - (-1) \times [ 2, 1, -1] = [ 0, 2, 1 ] \] 此时矩阵变为： \[ A^{(1)} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0.5 & 0.5 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \] 步骤2：消去第二列消去 \( a_ {32} \)：乘数 \( l_ {32} = \frac{2}{0.5} = 4 \)，将第二行乘以 \( -l_ {32} \) 加到第三行： \[ \text{新第三行} = [ 0, 2, 1] - 4 \times [ 0, 0.5, 0.5] = [ 0, 0, -1 ] \] 得到上三角矩阵 \( U \)： \[ U = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0.5 & 0.5 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \] 下三角矩阵 \( L \) 由乘数构成： \[ L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1.5 & 1 & 0 \\ -1 & 4 & 1 \end{pmatrix} \] 验证：\( LU = A \)。求解线性方程组原方程 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \) 化为 \( LU\mathbf{x} = \mathbf{b} \)。令 \( U\mathbf{x} = \mathbf{y} \)，分两步求解：前向替换（解 \( L\mathbf{y} = \mathbf{b} \)）假设 \( \mathbf{b} = [ 8, -11, -3 ]^T \)，解下三角系统： \[ \begin{cases} y_ 1 = 8 \\ -1.5y_ 1 + y_ 2 = -11 \Rightarrow y_ 2 = -11 + 1.5 \times 8 = 1 \\ -y_ 1 + 4y_ 2 + y_ 3 = -3 \Rightarrow y_ 3 = -3 + 8 - 4 \times 1 = 1 \end{cases} \] 得到 \( \mathbf{y} = [ 8, 1, 1 ]^T \)。后向替换（解 \( U\mathbf{x} = \mathbf{y} \)）解上三角系统： \[ \begin{cases} 2x_ 1 + x_ 2 - x_ 3 = 8 \\ 0.5x_ 2 + 0.5x_ 3 = 1 \\ -x_ 3 = 1 \Rightarrow x_ 3 = -1 \end{cases} \] 代入第二式： \( 0.5x_ 2 + 0.5 \times (-1) = 1 \Rightarrow x_ 2 = 3 \) 代入第一式： \( 2x_ 1 + 3 - (-1) = 8 \Rightarrow x_ 1 = 2 \) 最终解： \( \mathbf{x} = [ 2, 3, -1 ]^T \)。算法总结 LU分解避免了高斯消元中重复处理 \( \mathbf{b} \) 的步骤，适用于多次求解同一系数矩阵 \( A \) 不同 \( \mathbf{b} \) 的问题。若分解过程中出现主元为0，需结合选主元（如PLU分解）保证稳定性。