高斯-拉盖尔求积公式
题目描述
高斯-拉盖尔求积公式是数值积分中高斯求积法的一种，专门用于计算形如
\[\int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx \]
的无穷区间积分。该公式通过选取拉盖尔多项式的零点作为节点，并搭配特定权重，实现对被积函数 \(f(x)\) 的高精度逼近。要求：
- 解释公式的构造原理；
- 以 \(n=2\) 为例，演示具体计算过程；
- 分析其与普通高斯求积公式的区别。
解题过程
1. 公式的数学基础
高斯-拉盖尔求积公式的核心思想是：将积分转化为加权和
\[\int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i), \]
其中节点 \(x_i\) 是 \(n\) 次拉盖尔多项式 \(L_n(x)\) 的零点，权重 \(w_i\) 由拉盖尔多项式的性质确定。拉盖尔多项式是区间 \([0, \infty)\) 上关于权函数 \(e^{-x}\) 的正交多项式族，满足：
\[\int_{0}^{\infty} e^{-x} L_m(x) L_n(x) \, dx = 0 \quad (m \neq n). \]
这种正交性保证了求积公式对不超过 \(2n-1\) 次的多项式精确成立。
2. 节点与权重的计算（以 \(n=2\) 为例）
- 拉盖尔多项式：
\(L_2(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 4x + 2)\)。 - 求节点：解方程 \(L_2(x) = 0\)，即
\[ x^2 - 4x + 2 = 0 \implies x = 2 \pm \sqrt{2}. \]
得到节点 \(x_1 = 2 - \sqrt{2} \approx 0.5858\)，\(x_2 = 2 + \sqrt{2} \approx 3.4142\)。
- 求权重：
权重公式为
\[ w_i = \frac{1}{x_i [L_n'(x_i)]^2}, \]
其中 \(L_2'(x) = x - 2\)。
计算得：
\[ L_2'(x_1) = -1.4142, \quad w_1 = \frac{1}{0.5858 \times (-1.4142)^2} \approx 0.8536; \]
\[ L_2'(x_2) = 1.4142, \quad w_2 = \frac{1}{3.4142 \times (1.4142)^2} \approx 0.1464. \]
因此，二阶公式为：
\[ \int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx \approx 0.8536 f(0.5858) + 0.1464 f(3.4142). \]
3. 示例计算
计算 \(\int_{0}^{\infty} e^{-x} x^2 \, dx\)（真实值为 \(2! = 2\)）：
- \(f(x) = x^2\)，
- \(f(x_1) = (0.5858)^2 \approx 0.3431\)，
- \(f(x_2) = (3.4142)^2 \approx 11.6569\)，
- 积分值 \(\approx 0.8536 \times 0.3431 + 0.1464 \times 11.6569 \approx 2.0000\)。
结果与真实值一致，因为 \(x^2\) 是二次多项式，而 \(n=2\) 的公式对三次以下多项式精确。
4. 与普通高斯求积公式的区别
- 区间与权函数：普通高斯公式（如高斯-勒让德）针对区间 \([-1,1]\) 和常数权函数，而高斯-拉盖尔针对 \([0, \infty)\) 和权函数 \(e^{-x}\)。
- 节点分布：拉盖尔节点在 \([0, \infty)\) 上非均匀分布，靠近原点更密集，适应 \(e^{-x}\) 的衰减特性。
- 应用场景：高斯-拉盖尔专用于含指数衰减因子的无穷积分，避免手动截断区间引入误差。