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非线性规划中的逐步凸逼近算法基础题

**非线性规划中的逐步凸逼近算法基础题** **题目描述** 考虑非线性规划问题：最小化 f(x) = (x₁-2)⁴ + (x₂-3)² 满足约束条件： g₁(x) = x₁² + x₂² - 4 ≤ 0 g₂(x) = -x₁ ≤ 0 g₃(x) = -x₂ ≤ 0 这是一个具有非线性目标函数和非线性约束的优化问题。我们将使用逐步凸逼近算法（Successive Convex Approximation, SCA）求解该问题。 **算法原理** SCA算法的核心思想是将原非凸问题在每

2025-10-26 13:15:03

QR分解法解线性方程组

**QR分解法解线性方程组** **题目描述** 给定一个线性方程组 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)，其中 \( A \) 是一个 \( m \times n \) 的矩阵（\( m \geq n \)），\( \mathbf{b} \) 是已知的 \( m \) 维向量，\( \mathbf{x} \) 是待求解的 \( n \) 维向量。要求利用QR分解法求解该方程组。QR分解的核心是将矩阵 \( A \) 分解为一个正交矩阵 \( Q \) 和一个上三角

2025-10-26 13:09:49

线性动态规划：最大矩形

**线性动态规划：最大矩形** **题目描述** 给定一个仅包含 `0` 和 `1` 的二维二进制矩阵，找出其中只包含 `1` 的最大矩形，并返回其面积。例如，对于矩阵： ``` [ ["1","0","1","0","0"], ["1","0","1","1","1"], ["1","1","1","1","1"], ["1","0","0","1","0"] ] ``` 最大矩形的面积为 `6`（第二行和第三行中连续的三个 `1` 组成的矩形）。 ---

2025-10-26 13:04:32

最长有效括号子串（另一种解法）

**最长有效括号子串（另一种解法）** 题目描述：给定一个只包含 '(' 和 ')' 的字符串，找出最长有效（格式正确且连续）括号子串的长度。 **解题过程** 1. **问题分析** * 有效括号字符串满足：每个左括号 '(' 必须有对应的右括号 ')'，且子串是连续的。 * 难点在于有效子串可能被无效的括号隔开，例如 "()(()" 中，有两个有效的 "()"，但它们不连续。而 "()(())" 中，最后四个字符形成了一个有效的连续子串 "(())"。

2025-10-26 12:59:24

LeetCode 994. 腐烂的橘子

**LeetCode 994. 腐烂的橘子** **题目描述** 在给定的一个 `m x n` 网格中，每个单元格可以有以下三个值之一： - 值 `0` 代表一个空单元格； - 值 `1` 代表一个新鲜橘子； - 值 `2` 代表一个腐烂的橘子。每分钟，任何与腐烂的橘子（在四个正方向上，即上、下、左、右）相邻的新鲜橘子都会变成腐烂的橘子。你需要计算直到单元格中没有新鲜橘子为止所必须经过的最小分钟数。如果不可能，则返回 `-1`。 **解题过程** 这个问题可以看作是一个多源点的广度优先

2025-10-26 12:54:05

自适应高斯-克朗罗德积分法

**自适应高斯-克朗罗德积分法** **题目描述** 自适应高斯-克朗罗德积分法是一种结合高斯求积与克朗罗德节点扩展的数值积分技术，用于计算定积分 \( I = \int_a^b f(x)dx \) 的近似值。其核心思想是在每个子区间上分别应用高斯求积公式（如7点高斯公式）和克朗罗德公式（如15点公式，包含高斯节点并新增中间节点），通过比较两者结果的差异来估计局部误差。若误差超过预设容差，则自动将区间二分并递归处理，最终通过误差控制实现积分的自适应精度优化。 --- **解题过程**

2025-10-26 12:48:48

列生成算法在车辆路径问题中的应用示例

**列生成算法在车辆路径问题中的应用示例** **题目描述** 假设某物流公司有一个配送中心，需要向多个客户点送货。已知： - 配送中心有足够多的车辆，每辆车的载重量相同且有限（如最大载重为Q） - 每个客户点有确定的货物需求量（如客户i的需求为q_i） - 任意两点间的行驶距离已知 - 目标：设计一套车辆路径方案，使总行驶距离最短，且满足： 1. 每辆车从配送中心出发，最后返回配送中心 2. 每个客户点被恰好一辆车服务一次 3. 每辆车服务的客户总需求不超过载重量Q **解

2025-10-26 12:43:38

**寻找峰值** 题目描述：给定一个整数数组nums，其中相邻元素不相等。请你找到任意一个峰值元素并返回其索引。峰值元素是指其值严格大于左右相邻值的元素。数组可能包含多个峰值，返回任意一个峰值的位置即可。对于数组边界元素，可以认为nums[-1] = nums[n] = -∞。解题过程： 1. 理解问题：峰值元素需要大于其左右邻居。由于数组边界外的元素被视为负无穷，因此第一个元素只需大于第二个元素，最后一个元素只需大于倒数第二个元素，就能成为峰值。 2. 关键观察：由于相邻元素不相等，数

2025-10-26 12:38:24

基于线性规划的指派问题求解示例

**基于线性规划的指派问题求解示例** 我将为您讲解如何使用线性规划解决经典的指派问题。这是一个关于如何最优分配任务给执行者的数学模型。 **问题描述** 假设有4个工人和4项任务，每个工人完成不同任务的时间成本如下表所示（单位：小时）： | 工人\任务 | 任务1 | 任务2 | 任务3 | 任务4 | |-----------|-------|-------|-------|-------| | 工人A | 9 | 2 | 7 | 8 | | 工

2025-10-26 12:33:16

LeetCode 407. 接雨水 II

**LeetCode 407. 接雨水 II** **题目描述** 给你一个 `m x n` 的矩阵，其中的值均为非负整数，代表二维高度图。每个单元的长方体高度由对应的数值表示。请计算此形状在降雨后能接多少体积的雨水。例如，给定一个 3x3 的高度图： ``` [ [1,4,3,1,3,2], [3,2,1,3,2,4], [2,3,3,2,3,1] ] ``` 我们需要计算这个“凹凸不平”的二维地形能积蓄多少雨水。 **解题过程** 这个问题是经典的一维“接雨水”问题的

2025-10-26 12:22:51

LeetCode 1091. 二进制矩阵中的最短路径

**LeetCode 1091. 二进制矩阵中的最短路径** 题目描述：给定一个 n x n 的二进制矩阵 grid，返回从左上角 (0, 0) 到右下角 (n-1, n-1) 的最短畅通路径的长度。如果不存在这样的路径，返回 -1。二进制矩阵中的畅通路径是指从左上角到右下角、只包含 0 的路径（不允许走到值为 1 的格子）。路径可以向上、下、左、右、左上、右上、左下、右下八个方向移动（如果存在）。解题过程： 1. 问题分析 - 这是一个在网格图中寻找最短路径的问题 - 与常规的四方

2025-10-26 12:17:31

非线性规划中的序列线性规划法基础题

**非线性规划中的序列线性规划法基础题** **题目描述** 考虑非线性规划问题：最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 满足约束条件： h(x) = x₁² - x₂ = 0 g(x) = x₁ + x₂ - 2 ≤ 0 初始点 x⁰ = [0, 0]ᵀ 请使用序列线性规划法（SLP）求解该问题，展示前两次迭代的详细计算过程。 **解题过程** **1. 方法原理介绍** 序列线性规划法通过在原问题点处对非线性函数进行一阶泰勒展开，将非线性规划问题转化为

2025-10-26 12:12:20

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