非线性规划中的序列线性规划法基础题 题目描述 考虑非线性规划问题： 最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 满足约束条件： h(x) = x₁² - x₂ = 0 g(x) = x₁ + x₂ - 2 ≤ 0 初始点 x⁰ = [ 0, 0 ]ᵀ 请使用序列线性规划法（SLP）求解该问题，展示前两次迭代的详细计算过程。 解题过程 1. 方法原理介绍 序列线性规划法通过在原问题点处对非线性函数进行一阶泰勒展开，将非线性规划问题转化为一系列线性规划子问题来求解。每个子问题的解为搜索方向，再通过线搜索确定步长。 2. 第一次迭代（k=0） 2.1 计算当前点函数值 x⁰ = [ 0,0 ]ᵀ f(x⁰) = (0-2)⁴ + (0-0)² = 16 h(x⁰) = 0² - 0 = 0 g(x⁰) = 0 + 0 - 2 = -2 ≤ 0 2.2 计算梯度 ∇f(x) = [ 4(x₁-2)³ + 2(x₁-2x₂), -4(x₁-2x₂) ]ᵀ ∇f(x⁰) = [ 4(0-2)³ + 2(0-0), -4(0-0)]ᵀ = [ -32, 0 ]ᵀ ∇h(x) = [ 2x₁, -1 ]ᵀ ∇h(x⁰) = [ 0, -1 ]ᵀ ∇g(x) = [ 1, 1 ]ᵀ ∇g(x⁰) = [ 1, 1 ]ᵀ 2.3 构建线性规划子问题 在x⁰处线性化： min d ∇f(x⁰)ᵀd = -32d₁ + 0d₂ 满足： h(x⁰) + ∇h(x⁰)ᵀd = 0 → 0 + [ 0, -1][ d₁,d₂ ]ᵀ = 0 → -d₂ = 0 g(x⁰) + ∇g(x⁰)ᵀd ≤ 0 → -2 + [ 1,1][ d₁,d₂ ]ᵀ ≤ 0 → d₁ + d₂ ≤ 2 2.4 求解线性规划子问题 由约束-d₂=0得d₂=0，代入d₁+d₂≤2得d₁≤2 目标函数为-32d₁，要最小化需使d₁最大化 最优解：d⁰ = [ 2, 0 ]ᵀ 目标函数值：-32×2 = -64 2.5 线搜索确定步长 新点：x⁰ + αd⁰ = [ 2α, 0 ]ᵀ 考虑约束违反度：Φ(x) = |h(x)| + max(0, g(x)) 在α∈(0,1 ]内搜索使f(x)下降且Φ(x)较小的α 经计算选择α₀=0.5： x¹ = [ 1, 0 ]ᵀ f(x¹) = (1-2)⁴ + (1-0)² = 1 + 1 = 2 h(x¹) = 1² - 0 = 1 ≠ 0 g(x¹) = 1 + 0 - 2 = -1 ≤ 0 3. 第二次迭代（k=1） 3.1 计算当前点函数值 x¹ = [ 1,0 ]ᵀ f(x¹) = 2 h(x¹) = 1 g(x¹) = -1 3.2 计算梯度 ∇f(x¹) = [ 4(1-2)³ + 2(1-0), -4(1-0)]ᵀ = [ -4+2, -4]ᵀ = [ -2, -4 ]ᵀ ∇h(x¹) = [ 2×1, -1]ᵀ = [ 2, -1 ]ᵀ ∇g(x¹) = [ 1, 1 ]ᵀ 3.3 构建线性规划子问题 min d ∇f(x¹)ᵀd = -2d₁ -4d₂ 满足： h(x¹) + ∇h(x¹)ᵀd = 0 → 1 + [ 2, -1][ d₁,d₂ ]ᵀ = 0 → 2d₁ - d₂ = -1 g(x¹) + ∇g(x¹)ᵀd ≤ 0 → -1 + [ 1,1][ d₁,d₂ ]ᵀ ≤ 0 → d₁ + d₂ ≤ 1 3.4 求解线性规划子问题 由2d₁ - d₂ = -1得d₂ = 2d₁ + 1 代入d₁ + d₂ ≤ 1：d₁ + (2d₁+1) ≤ 1 → 3d₁ ≤ 0 → d₁ ≤ 0 目标函数：-2d₁ -4(2d₁+1) = -2d₁ -8d₁ -4 = -10d₁ -4 为最小化目标，需使d₁最大化，结合d₁≤0得d₁=0 则d₂ = 2×0 + 1 = 1 最优解：d¹ = [ 0, 1 ]ᵀ 目标函数值：-10×0 -4 = -4 3.5 线搜索确定步长 新点：x¹ + αd¹ = [ 1, α ]ᵀ 选择α₁=1： x² = [ 1, 1 ]ᵀ f(x²) = (1-2)⁴ + (1-2)² = 1 + 1 = 2 h(x²) = 1² - 1 = 0 g(x²) = 1 + 1 - 2 = 0 ≤ 0 经过两次迭代，点x²=[ 1,1 ]ᵀ已满足所有约束，且目标函数值从16降至2。