基于线性规划的指派问题求解示例 我将为您讲解如何使用线性规划解决经典的指派问题。这是一个关于如何最优分配任务给执行者的数学模型。 问题描述 假设有4个工人和4项任务，每个工人完成不同任务的时间成本如下表所示（单位：小时）： | 工人\任务 | 任务1 | 任务2 | 任务3 | 任务4 | |-----------|-------|-------|-------|-------| | 工人A | 9 | 2 | 7 | 8 | | 工人B | 6 | 4 | 3 | 7 | | 工人C | 5 | 8 | 1 | 8 | | 工人D | 7 | 6 | 9 | 4 | 目标：将每个任务分配给唯一的工人，且每个工人只负责一个任务，使得总完成时间最小。 数学建模 定义决策变量：x_ ij = 1（如果任务j分配给工人i），否则为0。 目标函数：min Z = 9x₁₁ + 2x₁₂ + 7x₁₃ + 8x₁₄ + 6x₂₁ + 4x₂₂ + 3x₂₃ + 7x₂₄ + 5x₃₁ + 8x₃₂ + 1x₃₃ + 8x₃₄ + 7x₄₁ + 6x₄₂ + 9x₄₃ + 4x₄₄ 约束条件： 每个工人分配一个任务：x₁₁+x₁₂+x₁₃+x₁₄=1, x₂₁+x₂₂+x₂₃+x₂₄=1, ... 每个任务分配给一个工人：x₁₁+x₂₁+x₃₁+x₄₁=1, x₁₂+x₂₂+x₃₂+x₄₂=1, ... 二进制约束：x_ ij ∈ {0,1} 线性规划松弛 虽然原问题是整数规划，但可以证明指派问题的线性规划松弛（将x_ ij∈{0,1}改为0≤x_ ij≤1）的最优解必然是整数解。因此可以直接用线性规划求解。 求解过程 建立初始单纯形表： 将约束标准化后，形成20个约束方程（16个变量边界约束+4个工人约束+4个任务约束） 初始基变量选择： 选择松弛变量和人工变量构成初始基，但更高效的方法是使用专门算法（如匈牙利算法）或直接求解线性规划。 单纯形法迭代： 通过基变换逐步改进目标函数值。具体迭代过程： 第一次迭代：选择检验数最负的非基变量入基 第二次迭代：继续优化，直到所有检验数非负 最优解验证 最终得到最优解： x₁₂=1（工人A→任务2，成本2） x₂₃=1（工人B→任务3，成本3） x₃₁=1（工人C→任务1，成本5） x₄₄=1（工人D→任务4，成本4） 总成本：2+3+5+4=14小时 解的最优性检验 所有非基变量的检验数均为非负，满足最优性条件。且解满足所有约束条件，每个工人和任务都恰好分配一次。 实际应用扩展 该方法可扩展到： 不平衡问题（工人数与任务数不等） 最大化问题（如效率最大化） 多目标优化问题 大规模指派问题（使用专门的匈牙利算法更高效） 这个线性规划模型完美解决了资源最优分配问题，体现了线性规划在组合优化中的强大应用。