自适应高斯-克朗罗德积分法 题目描述 自适应高斯-克朗罗德积分法是一种结合高斯求积与克朗罗德节点扩展的数值积分技术，用于计算定积分 \( I = \int_ a^b f(x)dx \) 的近似值。其核心思想是在每个子区间上分别应用高斯求积公式（如7点高斯公式）和克朗罗德公式（如15点公式，包含高斯节点并新增中间节点），通过比较两者结果的差异来估计局部误差。若误差超过预设容差，则自动将区间二分并递归处理，最终通过误差控制实现积分的自适应精度优化。 解题过程 基本公式选择 高斯求积公式（低精度参考） ：例如采用7点高斯公式 \( G_ 7 \)，在区间 \([ -1, 1 ]\) 上利用勒让德多项式的零点作为节点，通过权重求和近似积分。 克朗罗德公式（高精度计算） ：在7个高斯节点的基础上插入8个新节点，形成15点克朗罗德公式 \( K_ {15} \)。新节点通常取高斯节点的中点，权重经优化设计，使公式对更高次多项式精确。 误差估计与区间划分 在当前区间 \([ a,b]\) 上，计算高斯近似值 \( G_ 7 \) 和克朗罗德近似值 \( K_ {15} \)。 误差估计为 \( E = |K_ {15} - G_ 7| \)。若 \( E \leq \text{容差} \cdot (b-a)/(b_ {\text{总}}-a_ {\text{总}}) \)，则接受 \( K_ {15} \) 作为该区间的积分值。 若误差超限，将 \([ a,b ]\) 等分为两个子区间，对每个子区间递归重复上述过程。 递归终止条件 当所有子区间的误差均满足容差要求时，递归终止。总积分值为各子区间克朗罗德结果之和。 为防止无限划分，通常设置最小区间长度或最大递归深度限制。 算法优势 通过高斯与克朗罗德结果的差异提供可靠误差估计，避免额外计算。 自适应划分仅在函数变化剧烈处加密节点，效率高于均匀划分方法。 示例说明 以积分 \( I = \int_ 0^1 \sin(x^2)dx \) 为例： 在全区间 \([ 0,1]\) 计算 \( G_ 7 \) 和 \( K_ {15} \)，若误差过大则将区间二分。 在子区间 \([ 0,0.5]\) 和 \([ 0.5,1 ]\) 上分别计算误差，对仍不满足容差的区间继续二分。 最终在震荡频繁的区域（如 \( x \) 接近1时）划分更细，而平滑区域划分较粗，实现计算资源优化分配。