QR分解法解线性方程组
字数 1753 2025-10-26 13:29:52

QR分解法解线性方程组

题目描述
给定一个线性方程组 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)，其中 \(A\) 是一个 \(m \times n\) 的矩阵（\(m \geq n\)），\(\mathbf{b}\) 是已知的 \(m\) 维向量，\(\mathbf{x}\) 是待求解的 \(n\) 维向量。要求利用QR分解法求解该方程组。QR分解的核心是将矩阵 \(A\) 分解为一个正交矩阵 \(Q\) 和一个上三角矩阵 \(R\) 的乘积，即 \(A = QR\)，从而将原方程组转化为易于求解的三角方程组。

解题过程

  1. QR分解

    • 目标：将矩阵 \(A\) 分解为 \(A = QR\)，其中 \(Q\) 是正交矩阵（满足 \(Q^T Q = I\)），\(R\) 是上三角矩阵。
    • 方法（以Gram-Schmidt正交化为例）：
      • 设 \(A\) 的列向量为 \(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \dots, \mathbf{a}_n\)。
      • 正交化：逐步构造正交向量组 \(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n\)：
        • \(\mathbf{u}_1 = \mathbf{a}_1\)
        • \(\mathbf{u}_2 = \mathbf{a}_2 - \text{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{a}_2)\)，其中 \(\text{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{a}_2) = \frac{\mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{u}_1}{\mathbf{u}_1 \cdot \mathbf{u}_1} \mathbf{u}_1\)
        • 依此类推，\(\mathbf{u}_k = \mathbf{a}_k - \sum_{j=1}^{k-1} \text{proj}_{\mathbf{u}_j}(\mathbf{a}_k)\)。
      • 单位化：得到标准正交基 \(\mathbf{q}_i = \frac{\mathbf{u}_i}{\|\mathbf{u}_i\|}\)，组合成矩阵 \(Q = [\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \dots, \mathbf{q}_n]\)。
      • 求 \(R\)：\(R\) 是上三角矩阵，其元素 \(r_{ij} = \mathbf{q}_i \cdot \mathbf{a}_j\)（当 \(i \leq j\)），否则为 0。

  2. 转化原方程组

    • 将 \(A = QR\) 代入 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)：

\[ QR\mathbf{x} = \mathbf{b} \]

  • 两边左乘 \(Q^T\)（利用 \(Q^T Q = I\)）：

\[ R\mathbf{x} = Q^T \mathbf{b} \]

  • 记 \(\mathbf{y} = Q^T \mathbf{b}\)，则方程简化为 \(R\mathbf{x} = \mathbf{y}\)。

  1. 回代求解

    • 由于 \(R\) 是上三角矩阵，解 \(R\mathbf{x} = \mathbf{y}\) 可通过回代法：
      • 从最后一个方程开始：\(x_n = \frac{y_n}{r_{nn}}\)。
      • 向上逐行求解：\(x_i = \frac{y_i - \sum_{j=i+1}^n r_{ij} x_j}{r_{ii}}\)。

  2. 关键点说明

    • 若 \(A\) 列满秩（即 \(\text{rank}(A) = n\)），则 \(R\) 的对角元均非零，解唯一。
    • 实际计算中，为提高数值稳定性，常采用Householder变换或Givens旋转进行QR分解。

通过以上步骤，QR分解法将一般线性方程组转化为三角方程组，避免了直接求逆，适用于数值计算。

QR分解法解线性方程组 题目描述 给定一个线性方程组 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)，其中 \( A \) 是一个 \( m \times n \) 的矩阵（\( m \geq n \)），\( \mathbf{b} \) 是已知的 \( m \) 维向量，\( \mathbf{x} \) 是待求解的 \( n \) 维向量。要求利用QR分解法求解该方程组。QR分解的核心是将矩阵 \( A \) 分解为一个正交矩阵 \( Q \) 和一个上三角矩阵 \( R \) 的乘积，即 \( A = QR \)，从而将原方程组转化为易于求解的三角方程组。 解题过程 QR分解 目标：将矩阵 \( A \) 分解为 \( A = QR \)，其中 \( Q \) 是正交矩阵（满足 \( Q^T Q = I \)），\( R \) 是上三角矩阵。 方法（以Gram-Schmidt正交化为例）： 设 \( A \) 的列向量为 \( \mathbf{a}_ 1, \mathbf{a}_ 2, \dots, \mathbf{a}_ n \)。 正交化 ：逐步构造正交向量组 \( \mathbf{u}_ 1, \mathbf{u}_ 2, \dots, \mathbf{u}_ n \)： \( \mathbf{u}_ 1 = \mathbf{a}_ 1 \) \( \mathbf{u}_ 2 = \mathbf{a} 2 - \text{proj} {\mathbf{u}_ 1}(\mathbf{a} 2) \)，其中 \( \text{proj} {\mathbf{u}_ 1}(\mathbf{a}_ 2) = \frac{\mathbf{a}_ 2 \cdot \mathbf{u}_ 1}{\mathbf{u}_ 1 \cdot \mathbf{u}_ 1} \mathbf{u}_ 1 \) 依此类推，\( \mathbf{u} k = \mathbf{a} k - \sum {j=1}^{k-1} \text{proj} {\mathbf{u}_ j}(\mathbf{a}_ k) \)。 单位化 ：得到标准正交基 \( \mathbf{q}_ i = \frac{\mathbf{u}_ i}{\|\mathbf{u}_ i\|} \)，组合成矩阵 \( Q = [ \mathbf{q}_ 1, \mathbf{q}_ 2, \dots, \mathbf{q}_ n ] \)。 求 \( R \) ：\( R \) 是上三角矩阵，其元素 \( r_ {ij} = \mathbf{q}_ i \cdot \mathbf{a}_ j \)（当 \( i \leq j \)），否则为 0。 转化原方程组 将 \( A = QR \) 代入 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)： \[ QR\mathbf{x} = \mathbf{b} \] 两边左乘 \( Q^T \)（利用 \( Q^T Q = I \)）： \[ R\mathbf{x} = Q^T \mathbf{b} \] 记 \( \mathbf{y} = Q^T \mathbf{b} \)，则方程简化为 \( R\mathbf{x} = \mathbf{y} \)。 回代求解 由于 \( R \) 是上三角矩阵，解 \( R\mathbf{x} = \mathbf{y} \) 可通过回代法： 从最后一个方程开始：\( x_ n = \frac{y_ n}{r_ {nn}} \)。 向上逐行求解：\( x_ i = \frac{y_ i - \sum_ {j=i+1}^n r_ {ij} x_ j}{r_ {ii}} \)。 关键点说明 若 \( A \) 列满秩（即 \( \text{rank}(A) = n \)），则 \( R \) 的对角元均非零，解唯一。 实际计算中，为提高数值稳定性，常采用Householder变换或Givens旋转进行QR分解。 通过以上步骤，QR分解法将一般线性方程组转化为三角方程组，避免了直接求逆，适用于数值计算。