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非线性规划中的外推加速梯度法基础题

**非线性规划中的外推加速梯度法基础题** **题目描述：** 考虑非线性规划问题：min f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)²，其中 x ∈ ℝ²。使用外推加速梯度法（如Nesterov加速梯度法）求解该无约束优化问题，初始点设为 x⁰ = [0.0, 3.0]，最大迭代次数为100，梯度容忍度为1e-6。 **解题过程：** 1. **算法原理介绍** - 外推加速梯度法是对标准梯度下降法的改进，通过引入动量项（外推步骤）加快收敛速度 - 核心思想：

2025-11-10 15:56:16

最大子数组和问题的变种——最多允许删除一个元素的最大子数组和

**最大子数组和问题的变种——最多允许删除一个元素的最大子数组和** **题目描述** 给定一个整数数组 nums，可以最多删除一个元素（也可以不删除），要求找出具有最大和的连续子数组，并返回其和。示例：输入：nums = [1,-2,0,3] 输出：4 解释：删除元素 -2 后，子数组 [1,0,3] 的和为 4，这是最大的情况。 **解题过程** 这个问题是经典最大子数组和问题的变种，关键区别在于我们被允许最多删除一个元素。这意味着我们需要考虑两种情况：不删除任何元素的情况，以

2025-11-10 15:50:49

哈希算法题目：设计一个基于多重哈希的布隆过滤器变种（支持计数和删除操作）

**哈希算法题目：设计一个基于多重哈希的布隆过滤器变种（支持计数和删除操作）** **题目描述** 设计一个增强版的布隆过滤器，支持以下操作： 1. 添加（Add）：将一个元素插入到过滤器中 2. 查询（Contains）：检查一个元素是否可能在过滤器中（可能存在假阳性） 3. 删除（Remove）：从过滤器中删除一个元素 4. 计数（Count）：查询元素的大致出现次数（近似计数）与标准布隆过滤器不同，这个变种需要支持删除操作，并且能够提供元素的近似计数。标准布隆过滤器使用位数组，每个位

2025-11-10 15:34:39

基于线性规划的图最小反馈顶点集问题求解示例

**基于线性规划的图最小反馈顶点集问题求解示例** **问题描述** 最小反馈顶点集（Minimum Feedback Vertex Set, MFVS）问题旨在从给定有向图 \( G = (V, E) \) 中删除最少数量的顶点，使得剩余图中不包含任何有向环。该问题在实际中可用于消除死锁（如系统依赖关系中的循环依赖）。若将每个顶点 \( i \) 赋予删除成本 \( c_i \)，则目标是最小化总删除成本。本示例假设 \( c_i = 1 \)（即最小化删除顶点数），并通过整数线性规划（

2025-11-10 15:23:55

自适应高斯求积法在带峰值函数积分中的应用

**自适应高斯求积法在带峰值函数积分中的应用** **题目描述** 考虑计算带峰值特征的函数积分：I = ∫[a,b] f(x) dx，其中f(x)在区间内某点x=c附近存在尖锐峰值（峰值宽度远小于区间长度）。要求使用自适应高斯求积法，通过局部加密策略精确捕获峰值特征。 **解题过程** **1. 问题分析与挑战** - 峰值函数在大部分区间取值平缓，但在狭窄区域急剧变化 - 均匀布点会导致：要么峰值区域采样不足（低估积分），要么平缓区域过度采样（计算浪费） - 关键需求：在峰值区域自动加

2025-11-10 15:18:22

非线性规划中的内点反射梯度法基础题

**非线性规划中的内点反射梯度法基础题** **题目描述** 考虑非线性规划问题：最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 满足约束条件： x₁² - x₂ ≥ 0 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 这是一个具有非线性不等式约束和变量边界约束的优化问题。内点反射梯度法结合了内点法的约束处理机制和反射梯度法的搜索方向特性，适合求解这类中等规模的约束优化问题。 **解题过程** **第一步：问题分析与算法选择** 目标函数f(x)是非凸的，具有多个极值点。约束条件包

2025-11-10 15:13:06

分块矩阵的预处理MINRES算法解对称不定线性方程组

**分块矩阵的预处理MINRES算法解对称不定线性方程组** 我将为您详细讲解如何使用分块矩阵的预处理MINRES算法来求解对称不定线性方程组。 **问题描述** 考虑对称不定线性方程组 Ax = b，其中 A ∈ Rⁿˣⁿ 是对称但不一定正定的矩阵（即特征值可能有正有负），b ∈ Rⁿ 是已知向量。当矩阵A规模很大且呈现分块结构时，我们需要高效稳定的数值解法。 **算法原理** MINRES（最小残差法）是专门为对称矩阵设计的Krylov子空间方法，即使矩阵不定也能保证收敛。结合分块预处

2025-11-10 15:07:45

环形石子合并的最大得分问题

**环形石子合并的最大得分问题** **题目描述** 有N堆石子排成一个环形，每堆石子的数量用数组stones表示，其中stones[i]表示第i堆石子的数量。每次操作可以将相邻的两堆石子合并为一堆，合并的得分等于这两堆石子的数量之和。合并后得到的新石子堆的数量也是这两堆石子数量之和。游戏一直进行到只剩下一堆石子为止。请计算能获得的最大总得分。 **解题过程** **1. 问题分析** 这是一个经典的区间动态规划问题，但有一个关键变化：石子排列成环形而不是线性。这意味着我们需要考虑环形结构

2025-11-10 15:02:18

并行与分布式系统中的并行稀疏矩阵-向量乘法（SpMV）：基于行划分的并行算法

**并行与分布式系统中的并行稀疏矩阵-向量乘法（SpMV）：基于行划分的并行算法** **题目描述** 稀疏矩阵-向量乘法（SpMV）是科学计算中的核心操作，形式为 \( y = A \times x \)，其中 \( A \) 是大型稀疏矩阵（绝大多数元素为0），\( x \) 和 \( y \) 是稠密向量。在并行分布式环境中，矩阵 \( A \) 和向量 \( x, y \) 被划分到多个处理器上。本题要求设计一个基于行划分的并行SpMV算法，实现高效的计算和通信。 **解题过程*

2025-11-10 14:41:09

线性动态规划：最长回文子序列的变种——统计回文子序列的个数（进阶版：不同起始和结束位置的统计）

**线性动态规划：最长回文子序列的变种——统计回文子序列的个数（进阶版：不同起始和结束位置的统计）** **题目描述** 给定一个字符串 `s`，要求统计其中回文子序列的个数。注意：子序列不要求连续，但必须保持原始字符串中的相对顺序，并且空序列不算在内。结果可能很大，需要对 \(10^9 + 7\) 取模。 **示例** 输入：`s = "aba"` 输出：`5` 解释：回文子序列有 `"a"`, `"b"`, `"a"`, `"aa"`, `"aba"`。 --- ##

2025-11-10 14:19:45

非线性规划中的广义Benders分解算法基础题

**非线性规划中的广义Benders分解算法基础题** **题目描述：** 考虑如下非线性规划问题：最小化 f(x,y) = x₁² + x₂² + y₁² + y₂² 约束条件： g₁(x,y) = x₁ + x₂ + y₁ + y₂ - 4 ≤ 0 g₂(x,y) = x₁² + y₁² - 2 ≤ 0 h(x,y) = x₁ - x₂ + y₁ - y₂ = 0 其中 x = [x₁, x₂] ∈ X = {x | 0 ≤ x₁ ≤ 2, 0 ≤ x₂ ≤ 2} y = [y₁, y₂

2025-11-10 14:14:17

自适应辛普森积分法在带边界层函数积分中的误差传播分析

**自适应辛普森积分法在带边界层函数积分中的误差传播分析** **题目描述** 考虑计算积分 \[ I = \int_{0}^{1} f(x) \, dx, \quad f(x) = e^{-100(x-0.5)^2} \] 该被积函数在 \(x=0.5\) 附近有一个宽度约 \(0.02\) 的陡峭边界层，两侧函数值接近零。要求使用自适应辛普森积分法计算该积分，并分析误差在自适应划分过程中的传播特性，包括局部误差估计的可靠性及全局误差的累积行为。 **解题过程** 1. *

2025-11-10 14:03:49

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