并行与分布式系统中的并行稀疏矩阵-向量乘法（SpMV）：基于行划分的并行算法 题目描述 稀疏矩阵-向量乘法（SpMV）是科学计算中的核心操作，形式为 \( y = A \times x \)，其中 \( A \) 是大型稀疏矩阵（绝大多数元素为0），\( x \) 和 \( y \) 是稠密向量。在并行分布式环境中，矩阵 \( A \) 和向量 \( x, y \) 被划分到多个处理器上。本题要求设计一个基于行划分的并行SpMV算法，实现高效的计算和通信。 解题过程 问题分析 稀疏矩阵的存储需节省空间，常用压缩存储格式（如CSR）。 并行挑战：每个处理器分配矩阵的一部分行，但计算时需要访问全局向量 \( x \) 的某些元素，可能涉及跨处理器通信。 目标：最小化通信开销，平衡各处理器负载。 数据划分 行划分策略 ：将矩阵 \( A \) 按行块划分给 \( P \) 个处理器。例如，处理器 \( P_ i \) 获得行块 \( A_ i \)，并负责计算对应的输出子向量 \( y_ i \)。 向量分布 ：输入向量 \( x \) 被复制或划分到各处理器。若 \( x \) 的某个元素被多个处理器需要，需通过通信获取。 本地计算准备 每个处理器解析本地行块 \( A_ i \) 的非零元结构，确定需要从其他处理器获取的 \( x \) 的元素集合（称为"外部依赖"）。 例如，若 \( A_ i \) 的某非零元位于列 \( j \)，且 \( x_ j \) 不在本地，则需标记 \( j \) 为需获取的索引。 通信优化 邻居通信模式 ：各处理器向拥有所需 \( x \) 元素的处理器发送请求，仅获取必要数据，避免全广播。 数据聚合 ：将所需索引按目标处理器分组，合并通信消息，减少网络延迟开销。 计算与通信重叠 异步通信：在等待接收非本地 \( x \) 元素时，先使用本地可用的 \( x \) 元素进行计算，隐藏通信延迟。 步骤： a. 启动非本地数据的异步接收请求。 b. 同步计算依赖本地 \( x \) 元素的部分结果。 c. 等待通信完成，补充计算剩余部分。 本地SpMV计算 使用CSR格式高效计算： 数组 val 存储非零元， col_ind 存储列索引， row_ptr 标记行起始位置。 对本地每行 \( k \)： \[ y[ k] = \sum_ {j=\text{row\_ptr}[ k]}^{\text{row\_ptr}[ k+1]-1} \text{val}[ j] \times x[ \text{col\_ind}[ j] ] \] 若某些 \( x \) 元素非本地，暂存部分和，待数据到位后累加。 全局同步与结果收集 各处理器完成本地 \( y_ i \) 计算后，若结果需全局聚合，则通过规约操作（如MPI_ Gather）汇总到根处理器。 若后续计算需分布式 \( y \)，可保持分布状态。 关键点 负载均衡：通过矩阵非零元分布优化行划分（如METIS图划分工具）。 通信压缩：仅传输必要的向量元素，索引重排序可提升局部性。 扩展性：算法适用于大规模分布式系统，需结合具体通信库（如MPI）实现。