自适应辛普森积分法在带边界层函数积分中的误差传播分析

题目描述
考虑计算积分

\[I = \int_{0}^{1} f(x) \, dx, \quad f(x) = e^{-100(x-0.5)^2} \]

该被积函数在 \(x=0.5\) 附近有一个宽度约 \(0.02\) 的陡峭边界层，两侧函数值接近零。要求使用自适应辛普森积分法计算该积分，并分析误差在自适应划分过程中的传播特性，包括局部误差估计的可靠性及全局误差的累积行为。

解题过程

1. 自适应辛普森积分法基础
   • 核心思想：在函数变化剧烈的子区间自动加密节点，平缓区域稀疏采样。
   • 步骤：
     a. 对区间 \([a, b]\) 应用辛普森公式：

\[ S(a,b) = \frac{b-a}{6} \left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b)\right] \]

 b. 将区间二等分，计算左右子区间的辛普森值 $S(a,m)$ 和 $S(m,b)$（$m=(a+b)/2$）。  
 c. 误差估计：若 $|S(a,b) - [S(a,m) + S(m,b)]| < \epsilon$（$\epsilon$ 为容差），接受结果；否则递归处理子区间。

2. 边界层函数的误差传播挑战
   • 问题：边界层内函数二阶导数极大（本例中 \(f''(x)\) 在 \(x=0.5\) 处约 \(10^4\)），辛普森公式的局部截断误差

\[ E_{\text{local}} = -\frac{(b-a)^5}{2880} f^{(4)}(\xi) \]

 在边界层内显著放大。  

• 误差传播：自适应算法在边界层内反复划分，但若局部误差估计未充分收敛，误差会向全局积分传递。

3. 逐步计算与误差分析

   • 初始区间 \([0,1]\)：
     计算 \(S(0,1)\)，中点 \(m=0.5\) 位于边界层峰值，此时 \(S(0,1)\) 严重低估真实积分（因边界层外函数值近零，贡献被忽略）。
   • 第一次划分：
     计算子区间 \([0,0.5]\) 和 \([0.5,1]\) 的辛普森值。在 \([0,0.5]\) 中，右端点 \(0.5\) 处于峰值，左端点 \(0\) 函数值小，导致 \(S(0,0.5)\) 仍不准确；类似问题出现在 \([0.5,1]\)。
   • 递归加密：
     算法在边界层附近（如 \([0.49,0.51]\)）持续划分，直到子区间宽度远小于边界层宽度（如 \(<0.001\)）。此时，每个子区间上的辛普森公式才能精确逼近局部积分。
   • 误差累积：
     边界层外的区间（如 \([0,0.4]\)）因函数平缓，少量划分即满足容差，但其积分贡献微小。全局误差主要来源于边界层内局部误差的代数叠加。若局部容差设为 \(\epsilon_{\text{local}}\)，边界层内划分 \(n\) 次，则全局误差约 \(n \cdot \epsilon_{\text{local}}\)。

4. 改进策略

   • 动态容差调整：根据子区间长度缩放容差，例如设 \(\epsilon_{\text{local}} = \epsilon \cdot (b-a)\)，避免在窄区间过度精确。
   • 边界层预识别：先用粗网格扫描函数，识别陡峭区域，优先在这些区域加密计算。

结论
自适应辛普森法通过局部误差控制有效处理边界层，但需注意高阶导数极大的区间可能需额外划分。误差传播以线性累积为主，通过合理设置容差和预识别边界层可优化计算效率。