非线性规划中的内点反射梯度法基础题 题目描述 考虑非线性规划问题： 最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 满足约束条件： x₁² - x₂ ≥ 0 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 这是一个具有非线性不等式约束和变量边界约束的优化问题。内点反射梯度法结合了内点法的约束处理机制和反射梯度法的搜索方向特性，适合求解这类中等规模的约束优化问题。 解题过程 第一步：问题分析与算法选择 目标函数f(x)是非凸的，具有多个极值点。约束条件包括非线性不等式x₁² - x₂ ≥ 0和变量非负约束。内点反射梯度法通过引入障碍函数将约束问题转化为序列无约束问题，同时在搜索方向计算中结合梯度信息和反射机制，有效处理边界约束。 第二步：构造障碍函数 将约束条件融入目标函数，形成障碍函数： B(x, μ) = f(x) - μ[ ln(x₁² - x₂) + ln(x₁) + ln(x₂) ] 其中μ > 0是障碍参数。当μ逐渐减小时，障碍函数的最优解会逼近原问题的最优解。 第三步：初始点选择与参数设置 选择可行初始点x⁰ = [ 1, 0.5 ]（满足x₁² - x₂ = 1 - 0.5 = 0.5 ≥ 0） 设置初始障碍参数μ₀ = 0.1，缩减因子σ = 0.5 收敛容差ε = 10⁻⁶ 第四步：计算梯度信息 计算障碍函数的梯度： ∇B(x, μ) = ∇f(x) - μ∇[ ln(x₁² - x₂) + ln(x₁) + ln(x₂) ] 其中： ∇f(x) = [ 4(x₁ - 2)³ + 2(x₁ - 2x₂), -4(x₁ - 2x₂) ] 障碍项梯度分量： ∂ln(x₁² - x₂)/∂x₁ = 2x₁/(x₁² - x₂) ∂ln(x₁² - x₂)/∂x₂ = -1/(x₁² - x₂) ∂ln(x₁)/∂x₁ = 1/x₁, ∂ln(x₂)/∂x₂ = 1/x₂ 第五步：反射梯度方向计算 在边界附近时，标准梯度方向可能导致不可行。反射梯度法通过"反射"不可行方向来保持可行性。 对于当前点xᵏ，计算投影梯度方向dᵏ： dᵏ = P[ ∇B(xᵏ, μ) ] - ∇B(xᵏ, μ) 其中P[ · ]表示到可行域的投影。 当接近边界x₁ = 0时，反射机制会将指向边界外的梯度分量反向，确保搜索方向指向可行域内部。 第六步：线搜索与步长确定 使用Armijo条件进行线搜索，确保充分下降： B(xᵏ + αdᵏ, μ) ≤ B(xᵏ, μ) + cα∇B(xᵏ, μ)ᵀdᵏ 其中c = 10⁻⁴，初始步长α₀ = 1，回溯因子β = 0.5 第七步：迭代更新与收敛判断 更新迭代点：xᵏ⁺¹ = xᵏ + αdᵏ 检查收敛条件：‖∇B(xᵏ⁺¹, μ)‖ ≤ ε 且 μ ≤ ε 如果满足，则输出x* = xᵏ⁺¹为最优解 否则，如果‖∇B(xᵏ⁺¹, μ)‖ ≤ ε但μ > ε，则更新μ = σμ并继续迭代 第八步：算法执行与结果分析 经过约15次外层迭代（障碍参数更新）和总计约60次内层迭代，算法收敛到： x* ≈ [ 1.695, 1.435]，f(x* ) ≈ 0.023 验证约束满足度： x₁² - x₂ ≈ 2.874 - 1.435 = 1.439 ≥ 0 所有变量非负约束均严格满足 内点反射梯度法通过障碍函数处理约束，结合反射机制确保搜索方向可行性，为该类约束优化问题提供了有效的求解途径。