非线性规划中的广义Benders分解算法基础题

字数 1609 2025-11-10 14:14:17

非线性规划中的广义Benders分解算法基础题

题目描述：
考虑如下非线性规划问题：
最小化 f(x,y) = x₁² + x₂² + y₁² + y₂²
约束条件：
g₁(x,y) = x₁ + x₂ + y₁ + y₂ - 4 ≤ 0
g₂(x,y) = x₁² + y₁² - 2 ≤ 0
h(x,y) = x₁ - x₂ + y₁ - y₂ = 0
其中 x = [x₁, x₂] ∈ X = {x | 0 ≤ x₁ ≤ 2, 0 ≤ x₂ ≤ 2}
y = [y₁, y₂] ∈ Y = {y | 0 ≤ y₁ ≤ 2, 0 ≤ y₂ ≤ 2}

这是一个具有可分离结构的非线性规划问题，其中变量x和y通过约束相互耦合。

解题过程：

第一步：理解广义Benders分解的基本思想
广义Benders分解适用于具有以下结构的问题：
min f(x,y)
s.t. g(x,y) ≤ 0, h(x,y) = 0, x ∈ X, y ∈ Y

核心思想是将原问题分解为：

主问题：在固定某些变量时求解相对简单的问题
子问题：提供改进的割平面来修正主问题的解

第二步：问题重构
将原问题重写为：
min_y {v(y) = min_x [f(x,y) | g(x,y) ≤ 0, h(x,y) = 0, x ∈ X]}
s.t. y ∈ Y ∩ V
其中V = {y | 存在x ∈ X使得g(x,y) ≤ 0, h(x,y) = 0}

第三步：构建拉格朗日对偶
对于固定的y，子问题的拉格朗日函数为：
L(x; λ, μ) = f(x,y) + λᵀg(x,y) + μᵀh(x,y)
其中λ ≥ 0是对偶变量

对偶函数：θ(λ, μ) = min_x [L(x; λ, μ) | x ∈ X]

第四步：子问题求解（固定y）
对于给定的ŷ，求解：
min_x f(x,ŷ) = x₁² + x₂² + ŷ₁² + ŷ₂²
s.t. x₁ + x₂ + ŷ₁ + ŷ₂ - 4 ≤ 0
x₁² + ŷ₁² - 2 ≤ 0
x₁ - x₂ + ŷ₁ - ŷ₂ = 0
0 ≤ x₁, x₂ ≤ 2

这是一个相对简单的约束非线性规划问题，可以用常规方法求解。

第五步：主问题构建
主问题形式为：
min η
s.t. η ≥ θ(λ, μ) + λᵀg(x,y) + μᵀh(x,y) 对于所有(λ, μ) ∈ Λ
其中Λ是可行对偶变量集合

第六步：算法迭代过程

初始化：选择初始y⁰ ∈ Y，设置上界UB = +∞，下界LB = -∞，k = 0
子问题求解：
- 固定y = yᵏ，求解子问题得到最优解xᵏ和最优值v(yᵏ)
- 更新上界：UB = min(UB, v(yᵏ))
- 获取对偶变量(λᵏ, μᵏ)
可行性检验：
- 如果子问题不可行，求解可行性子问题生成可行性割平面
主问题更新：
- 添加最优性割平面：η ≥ θ(λᵏ, μᵏ) + (λᵏ)ᵀg(x,y) + (μᵏ)ᵀh(x,y)
- 求解主问题：min η s.t. 所有累积的割平面，y ∈ Y
- 更新下界：LB = η的值
收敛检验：
- 如果|UB - LB| < ε，停止
- 否则，k = k + 1，返回步骤2

第七步：具体计算示例
假设初始y⁰ = [1,1]：

子问题：min x₁² + x₂² + 2
s.t. x₁ + x₂ ≤ 2, x₁² ≤ 1, x₁ - x₂ = 0
解得x⁰ = [0.7,0.7], v(y⁰) = 0.98 + 0.98 + 2 = 3.96
生成割平面，更新主问题
迭代直至收敛到最优解

第八步：收敛性分析
广义Benders分解在凸性假设下保证收敛到全局最优解，对于非凸问题可能收敛到局部最优解。每次迭代都会改进下界或上界，最终达到预设精度。

非线性规划中的广义Benders分解算法基础题题目描述：考虑如下非线性规划问题：最小化 f(x,y) = x₁² + x₂² + y₁² + y₂² 约束条件： g₁(x,y) = x₁ + x₂ + y₁ + y₂ - 4 ≤ 0 g₂(x,y) = x₁² + y₁² - 2 ≤ 0 h(x,y) = x₁ - x₂ + y₁ - y₂ = 0 其中 x = [ x₁, x₂ ] ∈ X = {x | 0 ≤ x₁ ≤ 2, 0 ≤ x₂ ≤ 2} y = [ y₁, y₂ ] ∈ Y = {y | 0 ≤ y₁ ≤ 2, 0 ≤ y₂ ≤ 2} 这是一个具有可分离结构的非线性规划问题，其中变量x和y通过约束相互耦合。解题过程：第一步：理解广义Benders分解的基本思想广义Benders分解适用于具有以下结构的问题： min f(x,y) s.t. g(x,y) ≤ 0, h(x,y) = 0, x ∈ X, y ∈ Y 核心思想是将原问题分解为：主问题：在固定某些变量时求解相对简单的问题子问题：提供改进的割平面来修正主问题的解第二步：问题重构将原问题重写为： min_ y {v(y) = min_ x [ f(x,y) | g(x,y) ≤ 0, h(x,y) = 0, x ∈ X ]} s.t. y ∈ Y ∩ V 其中V = {y | 存在x ∈ X使得g(x,y) ≤ 0, h(x,y) = 0} 第三步：构建拉格朗日对偶对于固定的y，子问题的拉格朗日函数为： L(x; λ, μ) = f(x,y) + λᵀg(x,y) + μᵀh(x,y) 其中λ ≥ 0是对偶变量对偶函数：θ(λ, μ) = min_ x [ L(x; λ, μ) | x ∈ X ] 第四步：子问题求解（固定y）对于给定的ŷ，求解： min_ x f(x,ŷ) = x₁² + x₂² + ŷ₁² + ŷ₂² s.t. x₁ + x₂ + ŷ₁ + ŷ₂ - 4 ≤ 0 x₁² + ŷ₁² - 2 ≤ 0 x₁ - x₂ + ŷ₁ - ŷ₂ = 0 0 ≤ x₁, x₂ ≤ 2 这是一个相对简单的约束非线性规划问题，可以用常规方法求解。第五步：主问题构建主问题形式为： min η s.t. η ≥ θ(λ, μ) + λᵀg(x,y) + μᵀh(x,y) 对于所有(λ, μ) ∈ Λ 其中Λ是可行对偶变量集合第六步：算法迭代过程初始化：选择初始y⁰ ∈ Y，设置上界UB = +∞，下界LB = -∞，k = 0 子问题求解：固定y = yᵏ，求解子问题得到最优解xᵏ和最优值v(yᵏ) 更新上界：UB = min(UB, v(yᵏ)) 获取对偶变量(λᵏ, μᵏ) 可行性检验：如果子问题不可行，求解可行性子问题生成可行性割平面主问题更新：添加最优性割平面：η ≥ θ(λᵏ, μᵏ) + (λᵏ)ᵀg(x,y) + (μᵏ)ᵀh(x,y) 求解主问题：min η s.t. 所有累积的割平面，y ∈ Y 更新下界：LB = η的值收敛检验：如果|UB - LB| < ε，停止否则，k = k + 1，返回步骤2 第七步：具体计算示例假设初始y⁰ = [ 1,1 ]：子问题：min x₁² + x₂² + 2 s.t. x₁ + x₂ ≤ 2, x₁² ≤ 1, x₁ - x₂ = 0 解得x⁰ = [ 0.7,0.7 ], v(y⁰) = 0.98 + 0.98 + 2 = 3.96 生成割平面，更新主问题迭代直至收敛到最优解第八步：收敛性分析广义Benders分解在凸性假设下保证收敛到全局最优解，对于非凸问题可能收敛到局部最优解。每次迭代都会改进下界或上界，最终达到预设精度。