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高斯-勒让德求积公式

**高斯-勒让德求积公式** 题目描述：高斯-勒让德求积公式是一种在区间[-1,1]上进行数值积分的方法，它通过选择最优的节点和权重，使得n个节点的求积公式能够精确积分次数不超过2n-1次的多项式。请详细讲解该公式的推导思路、节点与权重的确定方法，以及如何将其推广到一般区间[a,b]上。解题过程： 1. 基本思路高斯求积法的核心思想是：对于积分∫₋₁¹ f(x)dx，我们希望找到一组节点xᵢ和权重wᵢ，使得求积公式∑wᵢf(xᵢ)能够精确积分尽可能高次的多项式。与传统牛顿-科特斯公式

2025-10-25 15:49:55

**排序链表** **题目描述** 给你一个链表的头节点 `head`，请将其按升序排列，并返回排序后的链表。链表节点的定义通常为： ```python class ListNode: def __init__(self, val=0, next=None): self.val = val self.next = next ``` 要求时间复杂度在 O(n log n) 范围内，且空间复杂度最好为 O(1) 或 O(log n)。 --- **解

2025-10-25 15:44:42

非线性规划中的拉格朗日乘数法基础题

**非线性规划中的拉格朗日乘数法基础题** **题目描述** 考虑一个简单的约束优化问题：最小化目标函数 \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) 满足约束条件 \( h(x, y) = x + y - 2 = 0 \) 要求使用拉格朗日乘数法找到使目标函数最小的点 \((x, y)\)，并验证其性质。 --- **解题过程** **1. 问题分析** 目标函数 \( f(x, y) \) 是一个开口向上的抛物面，在无约束时最小值在原点 \((0,0)

2025-10-25 15:39:29

牛顿-科特斯公式的推导与应用

**牛顿-科特斯公式的推导与应用** **题目描述** 计算定积分 \( I = \int_{0}^{2} (x^3 + 2x) \, dx \) 的近似值，要求使用**闭型牛顿-科特斯公式**（n=3，即使用4个等距节点）。请详细说明公式的推导过程、节点与权重的计算，并验证结果的精度。 --- **解题过程** **1. 问题分析** 牛顿-科特斯公式通过将积分区间等分为若干子区间，用多项式插值代替被积函数，并计算该多项式的积分。闭型公式包含区间端点。题目要求n=3，即区间被分

2025-10-25 15:28:52

复合辛普森公式

**复合辛普森公式** **题目描述** 利用复合辛普森公式计算定积分 \( I = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x} \, dx \) 的近似值，要求将积分区间 \([0, 1]\) 等分为 4 个子区间（即 \( n = 4 \)），并给出计算过程与最终结果（保留 6 位小数）。已知积分的精确值为 \( \ln 2 \approx 0.693147 \)，可用于验证近似值的精度。 --- **解题过程** 1. **理解复合辛普森公式** 对于定

2025-10-25 15:23:11

区间动态规划例题：石子合并问题

**区间动态规划例题：石子合并问题** **题目描述** 有N堆石子排成一排，每堆石子有一定的数量。现要将所有石子合并成一堆。合并的规则是：每次只能选择相邻的两堆石子合并成一堆，合并的代价是这两堆石子的数量之和。请设计一个算法，计算出将N堆石子合并成一堆的最小总代价。例如：有4堆石子，数量依次为4, 5, 9, 4。一种合并方案及其总代价计算如下： 1. 合并前两堆 (4, 5)，代价 4+5=9，得到新石子堆序列 [9, 9, 4]（总代价=9） 2. 合并后两堆 (9

2025-10-25 15:17:57

LeetCode 第 56 题：合并区间

**LeetCode 第 56 题：合并区间** **题目描述** 给定一个区间的集合 `intervals`，其中每个区间表示为 `intervals[i] = [start_i, end_i]`。你需要合并所有重叠的区间，并返回一个不重叠的区间数组，该数组需覆盖输入中的所有区间。示例：输入：`intervals = [[1,3],[2,6],[8,10],[15,18]]` 输出：`[[1,6],[8,10],[15,18]]` 解释：区间 [1,3] 和 [2,6]

2025-10-25 14:36:21

LeetCode 第 461 题：汉明距离（Hamming Distance）

**LeetCode 第 461 题：汉明距离（Hamming Distance）** ### 题目描述汉明距离指的是两个整数在二进制表示下，对应位不同的数量。给你两个整数 `x` 和 `y`，要求计算它们之间的汉明距离。 **示例：** ``` 输入: x = 1, y = 4 输出: 2 解释: 1 (0 0 0 1) 4 (0 1 0 0) ↑ ↑ 不同位有2个 ``` --- ### 解题思路 #### 步骤 1：理解核心问题汉明距离的关键是**逐

2025-10-25 14:20:31

LeetCode 第 208 题：实现 Trie (前缀树)

**LeetCode 第 208 题：实现 Trie (前缀树)** **题目描述** 请你实现一个 Trie（前缀树）类，包含以下操作： 1. `Trie()` 初始化前缀树对象。 2. `void insert(String word)` 向前缀树中插入字符串 `word`。 3. `boolean search(String word)` 如果字符串 `word` 在前缀树中，返回 `true`（即，已在插入时存在）；否则，返回 `false`。 4. `bool

2025-10-25 13:59:25

LeetCode 第 416 题：分割等和子集（Partition Equal Subset Sum）

**LeetCode 第 416 题：分割等和子集（Partition Equal Subset Sum）** **题目描述** 给定一个只包含正整数的非空数组，判断是否可以将该数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。示例：输入：[1, 5, 11, 5] 输出：true 解释：数组可以分割为 [1, 5, 5] 和 [11]，两个子集的和均为 11。 --- **解题思路** 这个问题可以转化为：是否存在一个子集，其元素和等于整个数组元素和的一半。 1

2025-10-25 13:12:17

LeetCode 第 338 题：比特位计数（Counting Bits）

**LeetCode 第 338 题：比特位计数（Counting Bits）** **题目描述** 给你一个整数 n，要求计算从 0 到 n 的每个整数的二进制表示中 1 的个数，并返回一个长度为 n+1 的数组，其中数组的第 i 个元素是 i 的二进制表示中 1 的个数。 **解题思路** 我们将循序渐进地分析这个问题，从最直观的方法开始，逐步优化到高效的动态规划解法。 **步骤 1：暴力解法（逐个计算）** 最直接的方法是遍历 0 到 n 的每个整数 i，对每个 i 计算其二进制表示

2025-10-25 13:06:58

LeetCode 第 240 题：搜索二维矩阵 II

**LeetCode 第 240 题：搜索二维矩阵 II** **题目描述** 给定一个 m x n 的二维矩阵 matrix，该矩阵具有以下特性： - 每行中的整数从左到右按升序排列。 - 每列中的整数从上到下按升序排列。要求编写一个高效的算法来搜索目标值 target。如果 target 存在于矩阵中，返回 true；否则返回 false。例如： ``` matrix = [ [1, 4, 7, 11, 15], [2, 5, 8, 12, 19], [

2025-10-25 13:01:45

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