复合辛普森公式
字数 1725 2025-10-25 15:28:46

复合辛普森公式

题目描述
利用复合辛普森公式计算定积分 \(I = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x} \, dx\) 的近似值，要求将积分区间 \([0, 1]\) 等分为 4 个子区间（即 \(n = 4\)），并给出计算过程与最终结果（保留 6 位小数）。已知积分的精确值为 \(\ln 2 \approx 0.693147\)，可用于验证近似值的精度。

解题过程

  1. 理解复合辛普森公式
    对于定积分 \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx\)，将区间 \([a, b]\) 等分为 \(n\)（偶数）个子区间，步长 \(h = \frac{b - a}{n}\)，节点 \(x_k = a + kh\)（\(k = 0, 1, \dots, n\)）。复合辛普森公式为：

\[ S_n = \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + f(x_n) + 4\sum_{k=1}^{n/2} f(x_{2k-1}) + 2\sum_{k=1}^{n/2-1} f(x_{2k}) \right]. \]

  1. 确定参数
    • 区间 \([a, b] = [0, 1]\)，函数 \(f(x) = \frac{1}{1 + x}\)。
    • 子区间数 \(n = 4\)，步长 \(h = \frac{1 - 0}{4} = 0.25\)。
    • 节点 \(x_k = 0 + 0.25k\)，即：

\[ x_0 = 0,\quad x_1 = 0.25,\quad x_2 = 0.5,\quad x_3 = 0.75,\quad x_4 = 1. \]

  1. 计算节点函数值（保留 6 位小数）

\[ \begin{align*} f(x_0) &= f(0) = \frac{1}{1 + 0} = 1.000000, \\ f(x_1) &= f(0.25) = \frac{1}{1.25} = 0.800000, \\ f(x_2) &= f(0.5) = \frac{1}{1.5} \approx 0.666667, \\ f(x_3) &= f(0.75) = \frac{1}{1.75} \approx 0.571429, \\ f(x_4) &= f(1) = \frac{1}{2} = 0.500000. \end{align*} \]

  1. 代入复合辛普森公式

    • 端点项：\(f(x_0) + f(x_4) = 1.000000 + 0.500000 = 1.500000\)。
    • 奇数节点和（\(k=1,2\)）：
      \(4 \sum f(x_{2k-1}) = 4[f(x_1) + f(x_3)] = 4 \times (0.800000 + 0.571429) = 4 \times 1.371429 = 5.485716\)。
    • 偶数节点和（\(k=1\)）：
      \(2 \sum f(x_{2k}) = 2 f(x_2) = 2 \times 0.666667 = 1.333334\)。
    • 总和：
      \(1.500000 + 5.485716 + 1.333334 = 8.319050\)。
    • 乘以 \(\frac{h}{3} = \frac{0.25}{3} \approx 0.083333\)：
      \(S_4 = 0.083333 \times 8.319050 \approx 0.693254\)。

  2. 结果与误差分析
    近似值 \(S_4 \approx 0.693254\)，精确值 \(\ln 2 \approx 0.693147\)，绝对误差 \(|0.693254 - 0.693147| \approx 0.000107\)。复合辛普森公式在 \(n=4\) 时已具有较高精度。

最终答案：

\[\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} \, dx \approx 0.693254. \]

复合辛普森公式 题目描述 利用复合辛普森公式计算定积分 \( I = \int_ {0}^{1} \frac{1}{1 + x} \, dx \) 的近似值，要求将积分区间 \([ 0, 1 ]\) 等分为 4 个子区间（即 \( n = 4 \)），并给出计算过程与最终结果（保留 6 位小数）。已知积分的精确值为 \( \ln 2 \approx 0.693147 \)，可用于验证近似值的精度。 解题过程 理解复合辛普森公式 对于定积分 \( \int_ {a}^{b} f(x) \, dx \)，将区间 \([ a, b]\) 等分为 \( n \)（偶数）个子区间，步长 \( h = \frac{b - a}{n} \)，节点 \( x_ k = a + kh \)（\( k = 0, 1, \dots, n \)）。复合辛普森公式为： \[ S_ n = \frac{h}{3} \left[ f(x_ 0) + f(x_ n) + 4\sum_ {k=1}^{n/2} f(x_ {2k-1}) + 2\sum_ {k=1}^{n/2-1} f(x_ {2k}) \right ]. \] 确定参数 区间 \([ a, b] = [ 0, 1 ]\)，函数 \( f(x) = \frac{1}{1 + x} \)。 子区间数 \( n = 4 \)，步长 \( h = \frac{1 - 0}{4} = 0.25 \)。 节点 \( x_ k = 0 + 0.25k \)，即： \[ x_ 0 = 0,\quad x_ 1 = 0.25,\quad x_ 2 = 0.5,\quad x_ 3 = 0.75,\quad x_ 4 = 1. \] 计算节点函数值 （保留 6 位小数） \[ \begin{align* } f(x_ 0) &= f(0) = \frac{1}{1 + 0} = 1.000000, \\ f(x_ 1) &= f(0.25) = \frac{1}{1.25} = 0.800000, \\ f(x_ 2) &= f(0.5) = \frac{1}{1.5} \approx 0.666667, \\ f(x_ 3) &= f(0.75) = \frac{1}{1.75} \approx 0.571429, \\ f(x_ 4) &= f(1) = \frac{1}{2} = 0.500000. \end{align* } \] 代入复合辛普森公式 端点项：\( f(x_ 0) + f(x_ 4) = 1.000000 + 0.500000 = 1.500000 \)。 奇数节点和（\( k=1,2 \)）： \( 4 \sum f(x_ {2k-1}) = 4[ f(x_ 1) + f(x_ 3) ] = 4 \times (0.800000 + 0.571429) = 4 \times 1.371429 = 5.485716 \)。 偶数节点和（\( k=1 \)）： \( 2 \sum f(x_ {2k}) = 2 f(x_ 2) = 2 \times 0.666667 = 1.333334 \)。 总和： \( 1.500000 + 5.485716 + 1.333334 = 8.319050 \)。 乘以 \( \frac{h}{3} = \frac{0.25}{3} \approx 0.083333 \)： \( S_ 4 = 0.083333 \times 8.319050 \approx 0.693254 \)。 结果与误差分析 近似值 \( S_ 4 \approx 0.693254 \)，精确值 \( \ln 2 \approx 0.693147 \)，绝对误差 \( |0.693254 - 0.693147| \approx 0.000107 \)。复合辛普森公式在 \( n=4 \) 时已具有较高精度。 最终答案 ： \[ \int_ {0}^{1} \frac{1}{1+x} \, dx \approx 0.693254. \]