非线性规划中的拉格朗日乘数法基础题 题目描述 考虑一个简单的约束优化问题： 最小化目标函数 \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) 满足约束条件 \( h(x, y) = x + y - 2 = 0 \) 要求使用拉格朗日乘数法找到使目标函数最小的点 \((x, y)\)，并验证其性质。 解题过程 1. 问题分析 目标函数 \( f(x, y) \) 是一个开口向上的抛物面，在无约束时最小值在原点 \((0,0)\)。但约束 \( x + y = 2 \) 定义了一条直线，问题转化为在该直线上找到距离原点最近的点。拉格朗日乘数法能系统地处理这种等式约束优化问题。 2. 构造拉格朗日函数 引入拉格朗日乘子 \(\lambda\)，将约束条件融入目标函数： \[ \mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda \cdot h(x, y) = x^2 + y^2 - \lambda (x + y - 2) \] 这里减号是为保证后续偏导形式的统一性（可改为加号，但需调整\(\lambda\)符号）。 3. 求偏导并建立方程组 对变量 \(x, y, \lambda\) 分别求偏导，令其为零： \[ \begin{cases} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x - \lambda = 0 \quad \text{(1)} \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 2y - \lambda = 0 \quad \text{(2)} \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = -(x + y - 2) = 0 \quad \text{(3)} \end{cases} \] 4. 解方程组 由(1)和(2)得 \( 2x = \lambda \) 和 \( 2y = \lambda \)，因此 \( x = y \)。 代入(3): \( x + x - 2 = 0 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1, y = 1 \)。 再代入(1): \( 2 \cdot 1 = \lambda \Rightarrow \lambda = 2 \)。 解得候选点 \((x, y, \lambda) = (1, 1, 2)\)。 5. 验证最优性 几何直观 ：约束直线 \(x+y=2\) 上点 \((1,1)\) 到原点距离为 \(\sqrt{2}\)，其他点（如\((2,0)\)）距离为 \(2\)，显然更小值在 \((1,1)\)。 二阶条件检查 ：计算目标函数在约束下的Hessian矩阵（或利用Bordered Hessian判定极值性质），本例中目标函数为凸函数，约束为线性，故该点是最小值点。 代入验证 ：\(f(1,1)=2\)，若取邻近满足约束的点如\((1.1, 0.9)\)，则 \(f=1.21+0.81=2.02>2\)，确认最小值。 6. 结论 在约束 \(x+y=2\) 下，\(f(x,y)\) 在点 \((1,1)\) 取得最小值 \(2\)，拉格朗日乘子 \(\lambda=2\) 表示约束条件右端增加1单位时目标函数值约增加2（灵敏度分析）。 关键点总结 拉格朗日乘数法将约束问题转化为无约束函数的驻点求解。 乘子 \(\lambda\) 具有重要的经济学或物理意义（约束的边际影响）。 对于非凸问题，需进一步检验二阶充分条件。