高斯-勒让德求积公式 题目描述： 高斯-勒让德求积公式是一种在区间[ -1,1]上进行数值积分的方法，它通过选择最优的节点和权重，使得n个节点的求积公式能够精确积分次数不超过2n-1次的多项式。请详细讲解该公式的推导思路、节点与权重的确定方法，以及如何将其推广到一般区间[ a,b ]上。 解题过程： 基本思路 高斯求积法的核心思想是：对于积分∫₋₁¹ f(x)dx，我们希望找到一组节点xᵢ和权重wᵢ，使得求积公式∑wᵢf(xᵢ)能够精确积分尽可能高次的多项式。与传统牛顿-科特斯公式不同，高斯求积法不要求节点等距分布。 数学原理 对于n个节点的高斯求积公式，我们希望它能精确积分所有次数不超过2n-1次的多项式。这意味着我们需要求解2n个参数（n个节点和n个权重），使得公式对1,x,x²,...,x²ⁿ⁻¹都能精确积分。 节点确定 高斯-勒让德求积的节点是n次勒让德多项式Pₙ(x)的根。勒让德多项式是[ -1,1 ]上的正交多项式族，满足： ∫₋₁¹ Pₘ(x)Pₙ(x)dx = 0 (当m≠n时) 前几个勒让德多项式为： P₀(x) = 1 P₁(x) = x P₂(x) = (3x² - 1)/2 P₃(x) = (5x³ - 3x)/2 权重计算 权重wᵢ可通过以下公式计算： wᵢ = 2/[ (1-xᵢ²)(Pₙ'(xᵢ))² ] 其中Pₙ'(x)是勒让德多项式的导数。 具体例子（n=2） 对于2点高斯公式： 求节点：解P₂(x)=0，得x=±1/√3 ≈ ±0.57735 计算权重：w₁ = w₂ = 1 因此2点高斯公式为： ∫₋₁¹ f(x)dx ≈ f(-1/√3) + f(1/√3) 区间变换 将结果推广到一般区间[ a,b ]： ∫ₐᵇ f(x)dx = (b-a)/2 ∫₋₁¹ f((b-a)t/2 + (a+b)/2)dt 应用示例 计算∫₀¹ x²dx： 变换区间：令x = (t+1)/2，dx = dt/2 积分变为：1/2 ∫₋₁¹ [ (t+1)/2 ]²dt 应用2点公式：1/2 × [ ((-0.57735+1)/2)² + ((0.57735+1)/2)² ] ≈ 0.33333 高斯求积法的优点是对于光滑函数收敛速度快，且不需要很多节点就能达到较高精度。