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哈希算法题目：最长重复子串

**哈希算法题目：最长重复子串** 题目描述：给定一个字符串 `s`，找出其中最长重复子串的长度。重复子串是指在该字符串中至少出现两次的连续子串，且这两个出现位置不能重叠（若允许重叠需特别说明，本题通常默认不重叠）。例如，字符串 `"ababa"` 的最长重复子串是 `"aba"`，但若要求不重叠，则最长重复子串为 `"ab"` 或 `"ba"`，长度为 2。解题思路（使用哈希算法 + 二分查找）： 1. **问题分析**： - 暴力枚举所有子串并检查重复性，时间复杂度

2025-10-27 03:02:53

Gauss-Seidel迭代法解线性方程组

**Gauss-Seidel迭代法解线性方程组** **题目描述** 给定一个线性方程组 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)，其中 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 的系数矩阵，\( \mathbf{b} \) 是常数向量。要求使用 Gauss-Seidel 迭代法求解未知向量 \( \mathbf{x} \)。该方法适用于对角占优或对称正定矩阵，通过迭代逐步逼近方程组的解。 **解题过程** 1. **算法原理** Gau

2025-10-27 02:57:39

高斯-切比雪夫求积公式的权重与节点计算

**高斯-切比雪夫求积公式的权重与节点计算** **题目描述** 高斯-切比雪夫求积公式是一种针对特定权函数 \( w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) 在区间 \([-1, 1]\) 上的数值积分方法，用于计算形如 \( \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \) 的积分。该公式的节点是切比雪夫多项式的根，权重为常数。本题要求推导其节点和权重的解析表达式，并解释其高精度特性。 --- **解题过程**

2025-10-27 02:52:21

支持向量机（SVM）的数学推导与核函数应用

**支持向量机（SVM）的数学推导与核函数应用** **题目描述** 支持向量机（SVM）是一种经典的二分类模型，其核心思想是找到一个最优超平面，使得两类数据点到该平面的间隔最大化。本题要求： 1. 推导线性可分SVM的数学形式，包括间隔定义、优化目标建立和对偶问题转化； 2. 解释核函数的作用，并说明如何通过核方法处理非线性分类问题。 --- **解题过程** ### **1. 间隔的定义与优化目标** #### （1）超平面与函数间隔 - 超平面表达式为 \( \

2025-10-27 02:47:00

石子合并问题（环形数组版本）

**石子合并问题（环形数组版本）** **题目描述** 有 `n` 堆石子排成一个环形，每堆石子的数量用一个数组 `stones` 表示（环形意味着 `stones[0]` 和 `stones[n-1]` 相邻）。每次操作可以选择相邻的两堆石子合并成一堆，合并的代价为这两堆石子的数量之和。重复合并操作直到只剩下一堆石子，求合并的最小总代价。 **示例** 输入：`stones = [3, 4, 2, 5]`（环形排列）输出：最小总代价为 `31` 解释：一种最优合并顺序为：

2025-10-27 02:41:35

区间动态规划例题：统计同构子字符串的数目问题

**区间动态规划例题：统计同构子字符串的数目问题** **题目描述** 给定一个字符串 `s`，统计其中同构子字符串的数目。同构子字符串定义为所有字符都相同的连续子串。例如，字符串 `"abbccca"` 的同构子字符串包括 `"a"`、`"b"`、`"bb"`、`"c"`、`"cc"`、`"ccc"`、`"a"`（最后一个字符）等。注意，单个字符是长度为 1 的同构子串，而 `"bb"` 是长度为 2 的同构子串。要求计算所有同构子串的总数。 --- **解题思路** 1

2025-10-27 02:36:15

分治法计算对称三对角矩阵特征值

**分治法计算对称三对角矩阵特征值** **题目描述** 给定一个 \(n \times n\) 的实对称三对角矩阵 \(T\)，要求计算其全部特征值。对称三对角矩阵的形式如下： \[ T = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & & & \\ b_1 & a_2 & b_2 & & \\ & b_2 & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & a_{n-1} & b_{n-1} \\ & & & b_{n-1} & a_n \end{

2025-10-27 02:30:56

非线性规划中的坐标轮换法基础题

**非线性规划中的坐标轮换法基础题** **题目描述** 考虑一个二维非线性规划问题：最小化目标函数 \( f(x_1, x_2) = (x_1 - 2)^4 + (x_1 - 2x_2)^2 \) 初始点为 \( x^{(0)} = (0, 3) \)，收敛容差 \( \epsilon = 0.001 \)。要求使用坐标轮换法求解该问题，并分析迭代过程。 **解题过程** 坐标轮换法（Coordinate Descent）通过轮流沿每个坐标方向进行一维搜索来逼近极小点。具

2025-10-27 02:25:41

深度学习中的梯度消失问题与LSTM的解决机制

**深度学习中的梯度消失问题与LSTM的解决机制** **题目描述** 梯度消失是训练深度神经网络时常见的挑战，尤其在循环神经网络（RNN）中更为显著。当网络层数较深或序列较长时，梯度在反向传播过程中可能指数级衰减，导致模型无法学习长期依赖关系。本题要求解释梯度消失的成因，并重点分析长短期记忆网络（LSTM）如何通过其门控机制解决该问题。 --- **解题过程** **1. 梯度消失问题的根源** - **反向传播的链式法则**：在RNN中，损失函数对早期隐藏状态的梯度需逐层

2025-10-27 02:20:27

Tarjan算法求有向图的强连通分量

**Tarjan算法求有向图的强连通分量** **题目描述** 给定一个有向图，要求找出图中所有的强连通分量（Strongly Connected Components, SCC）。强连通分量是指有向图中的一个最大子图，其中任意两个顶点都互相可达。例如，在下图中有三个强连通分量：{A, B, E}、{C, D} 和 {F}。 ``` A -> B -> F | ^ | v | v E -> D <- C ``` 注意：本题与 Kosaraju

2025-10-27 02:09:59

图论中的最短路径问题（Dijkstra算法）

**图论中的最短路径问题（Dijkstra算法）** **题目描述** 在一个**非负权有向图**中，给定一个起点 \( s \)，要求找出从 \( s \) 到图中所有其他顶点的最短路径长度。其中，路径长度定义为路径上所有边的权值之和。例如，下图包含顶点 A、B、C、D，边权均为非负数，求从 A 到其他顶点的最短距离。 **解题过程** 1. **核心思想** Dijkstra 算法采用**贪心策略**，逐步确定从起点到各顶点的最短距离。其核心是维护一个集合 \( S

2025-10-27 02:04:42

线性动态规划：最长公共子序列的变种——最短公共超序列

**线性动态规划：最长公共子序列的变种——最短公共超序列** **题目描述** 给定两个字符串 `str1` 和 `str2`，要求找出一个最短的字符串，使得 `str1` 和 `str2` 都是这个字符串的子序列。这样的字符串称为**最短公共超序列（Shortest Common Supersequence，SCS）**。例如： - 输入：`str1 = "abac"`, `str2 = "cab"` - 输出：最短公共超序列为 `"cabac"`（长度 5），因为 `"abac

2025-10-27 01:59:24

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