注意：计算 $ x_i^{(k+1)} $ 时，已更新的分量 $ x_1^{(k+1)}, \dots, x_{i-1}^{(k+1)} $ 直接使用新值，未更新的分量 $ x_{i+1}^{(k)}, \dots, x_n^{(k)} $ 使用旧值。这比 Jacobi 方法收敛更快。  

Gauss-Seidel迭代法解线性方程组 题目描述 给定一个线性方程组 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)，其中 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 的系数矩阵，\( \mathbf{b} \) 是常数向量。要求使用 Gauss-Seidel 迭代法求解未知向量 \( \mathbf{x} \)。该方法适用于对角占优或对称正定矩阵，通过迭代逐步逼近方程组的解。 解题过程 算法原理 Gauss-Seidel 迭代法是 Jacobi 迭代法的改进版本。核心思想是将系数矩阵 \( A \) 分解为三部分： \[ A = L + D + U \] 其中： \( L \) 是严格下三角矩阵（包含 \( A \) 的主对角线以下元素）， \( D \) 是对角矩阵（仅保留 \( A \) 的主对角线元素）， \( U \) 是严格上三角矩阵（包含 \( A \) 的主对角线以上元素）。 迭代公式为： \[ \mathbf{x}^{(k+1)} = (D + L)^{-1} \left( \mathbf{b} - U \mathbf{x}^{(k)} \right) \] 实际计算中，无需直接求逆矩阵，而是通过逐分量迭代实现。 迭代步骤 步骤1：初始化 设置初始解向量 \( \mathbf{x}^{(0)} \)（通常设为零向量或估计值），指定误差容限 \( \epsilon \) 和最大迭代次数 \( N \)。 步骤2：迭代计算 对于第 \( k+1 \) 次迭代，依次更新每个分量 \( x_ i^{(k+1)} \)（按 \( i=1,2,\dots,n \) 顺序）： \[ x_ i^{(k+1)} = \frac{1}{a_ {ii}} \left( b_ i - \sum_ {j=1}^{i-1} a_ {ij} x_ j^{(k+1)} - \sum_ {j=i+1}^{n} a_ {ij} x_ j^{(k)} \right) \] 注意：计算 \( x_ i^{(k+1)} \) 时，已更新的分量 \( x_ 1^{(k+1)}, \dots, x_ {i-1}^{(k+1)} \) 直接使用新值，未更新的分量 \( x_ {i+1}^{(k)}, \dots, x_ n^{(k)} \) 使用旧值。这比 Jacobi 方法收敛更快。 步骤3：收敛判断 计算两次迭代解的误差 \( \|\mathbf{x}^{(k+1)} - \mathbf{x}^{(k)}\| \)（常用欧几里得范数或无穷范数）。若误差小于 \( \epsilon \) 或迭代次数超过 \( N \)，则停止迭代；否则返回步骤2。 收敛性分析 若矩阵 \( A \) 严格对角占优（即 \( |a_ {ii}| > \sum_ {j \neq i} |a_ {ij}| \)）或对称正定，Gauss-Seidel 迭代保证收敛。 收敛速度取决于矩阵的谱半径（迭代矩阵 \( G = -(D+L)^{-1}U \) 的特征值模的最大值）。 示例 求解方程组： \[ \begin{cases} 4x_ 1 + x_ 2 = 9 \\ x_ 1 + 3x_ 2 = 10 \end{cases} \] 初始化 \( x_ 1^{(0)} = 0, x_ 2^{(0)} = 0 \)。 第一次迭代： \[ x_ 1^{(1)} = \frac{1}{4}(9 - 1 \cdot 0) = 2.25, \quad x_ 2^{(1)} = \frac{1}{3}(10 - 1 \cdot 2.25) = 2.5833 \] 第二次迭代： \[ x_ 1^{(2)} = \frac{1}{4}(9 - 1 \cdot 2.5833) = 1.6042, \quad x_ 2^{(2)} = \frac{1}{3}(10 - 1 \cdot 1.6042) = 2.7986 \] 重复迭代直至误差满足要求，最终逼近精确解 \( x_ 1 = 1, x_ 2 = 3 \)。