高斯-切比雪夫求积公式的权重与节点计算
字数 1907 2025-10-27 08:13:40

高斯-切比雪夫求积公式的权重与节点计算

题目描述
高斯-切比雪夫求积公式是一种针对特定权函数 \(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 在区间 \([-1, 1]\) 上的数值积分方法，用于计算形如 \(\int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 的积分。该公式的节点是切比雪夫多项式的根，权重为常数。本题要求推导其节点和权重的解析表达式，并解释其高精度特性。

解题过程

  1. 问题分析与公式形式
    高斯型求积公式的目标是找到节点 \(x_k\) 和权重 \(w_k\)，使得公式

\[ \int_{-1}^{1} w(x) f(x) \, dx \approx \sum_{k=1}^{n} w_k f(x_k) \]

对尽可能高次的多项式精确成立。对于权函数 \(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)，对应的正交多项式是第一类切比雪夫多项式 \(T_n(x) = \cos(n \arccos x)\)。

  1. 节点的确定
    • 第一类切比雪夫多项式 \(T_n(x)\) 在 \([-1, 1]\) 上的根为：

\[ x_k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right), \quad k = 1, 2, \dots, n. \]

  • 这些根即为高斯-切比雪夫公式的节点，它们分布在区间内且关于原点对称。
  1. 权重的推导
    • 高斯型求积的权重可通过拉格朗日插值多项式积分得到。但这里利用正交多项式的性质简化计算。
    • 考虑积分 \(\int_{-1}^{1} \frac{T_m(x) T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 的正交性：

\[ \int_{-1}^{1} \frac{T_m(x) T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \begin{cases} 0 & m \neq n, \\ \pi & m = n = 0, \\ \pi/2 & m = n \neq 0. \end{cases} \]

  • 要求求积公式对 \(f(x) = T_0(x) = 1\) 精确成立：

\[ \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \pi = \sum_{k=1}^{n} w_k \cdot 1. \]

  • 同时，对 \(f(x) = T_1(x) = x\) 精确成立（利用对称性可验证）。进一步可证明所有权重相等：

\[ w_k = \frac{\pi}{n}, \quad k = 1, 2, \dots, n. \]

  1. 最终公式与误差分析
    • 高斯-切比雪夫求积公式为：

\[ \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left( \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right) \right). \]

  • 误差分析：该公式对次数不超过 \(2n-1\) 的多项式精确成立（高斯型求积的通用性质）。误差项与 \(f^{(2n)}(\xi)\) 相关，但由于切比雪夫多项式的特殊性，实际误差可能更小。
  1. 示例验证
    以 \(n=2\) 为例：
    • 节点： \(x_1 = \cos(\pi/4) = \sqrt{2}/2, \quad x_2 = \cos(3\pi/4) = -\sqrt{2}/2\)。
    • 权重： \(w_1 = w_2 = \pi/2\)。
    • 计算 \(\int_{-1}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\)（真实值为 \(\pi/2\)）：

\[ \frac{\pi}{2} \left[ \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 \right] = \frac{\pi}{2} \cdot 1 = \frac{\pi}{2}. \]

 结果精确，符合预期。

总结
高斯-切比雪夫公式的节点和权重有简洁的解析形式，权重为常数使其计算简便。该公式在处理含权函数 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 的积分时效率极高，但需注意其适用区间和权函数的限制。

高斯-切比雪夫求积公式的权重与节点计算 题目描述 高斯-切比雪夫求积公式是一种针对特定权函数 \( w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) 在区间 \([ -1, 1]\) 上的数值积分方法，用于计算形如 \( \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \) 的积分。该公式的节点是切比雪夫多项式的根，权重为常数。本题要求推导其节点和权重的解析表达式，并解释其高精度特性。 解题过程 问题分析与公式形式 高斯型求积公式的目标是找到节点 \( x_ k \) 和权重 \( w_ k \)，使得公式 \[ \int_ {-1}^{1} w(x) f(x) \, dx \approx \sum_ {k=1}^{n} w_ k f(x_ k) \] 对尽可能高次的多项式精确成立。对于权函数 \( w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)，对应的正交多项式是 第一类切比雪夫多项式 \( T_ n(x) = \cos(n \arccos x) \)。 节点的确定 第一类切比雪夫多项式 \( T_ n(x) \) 在 \([ -1, 1 ]\) 上的根为： \[ x_ k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right), \quad k = 1, 2, \dots, n. \] 这些根即为高斯-切比雪夫公式的节点，它们分布在区间内且关于原点对称。 权重的推导 高斯型求积的权重可通过拉格朗日插值多项式积分得到。但这里利用正交多项式的性质简化计算。 考虑积分 \( \int_ {-1}^{1} \frac{T_ m(x) T_ n(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \) 的正交性： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{T_ m(x) T_ n(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \begin{cases} 0 & m \neq n, \\ \pi & m = n = 0, \\ \pi/2 & m = n \neq 0. \end{cases} \] 要求求积公式对 \( f(x) = T_ 0(x) = 1 \) 精确成立： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \pi = \sum_ {k=1}^{n} w_ k \cdot 1. \] 同时，对 \( f(x) = T_ 1(x) = x \) 精确成立（利用对称性可验证）。进一步可证明所有权重相等： \[ w_ k = \frac{\pi}{n}, \quad k = 1, 2, \dots, n. \] 最终公式与误差分析 高斯-切比雪夫求积公式为： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^{n} f\left( \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right) \right). \] 误差分析 ：该公式对次数不超过 \( 2n-1 \) 的多项式精确成立（高斯型求积的通用性质）。误差项与 \( f^{(2n)}(\xi) \) 相关，但由于切比雪夫多项式的特殊性，实际误差可能更小。 示例验证 以 \( n=2 \) 为例： 节点： \( x_ 1 = \cos(\pi/4) = \sqrt{2}/2, \quad x_ 2 = \cos(3\pi/4) = -\sqrt{2}/2 \)。 权重： \( w_ 1 = w_ 2 = \pi/2 \)。 计算 \( \int_ {-1}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \)（真实值为 \( \pi/2 \)）： \[ \frac{\pi}{2} \left[ \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 \right ] = \frac{\pi}{2} \cdot 1 = \frac{\pi}{2}. \] 结果精确，符合预期。 总结 高斯-切比雪夫公式的节点和权重有简洁的解析形式，权重为常数使其计算简便。该公式在处理含权函数 \( 1/\sqrt{1-x^2} \) 的积分时效率极高，但需注意其适用区间和权函数的限制。