分治法计算对称三对角矩阵特征值
字数 2123 2025-10-27 08:13:40

分治法计算对称三对角矩阵特征值

题目描述
给定一个 \(n \times n\) 的实对称三对角矩阵 \(T\)，要求计算其全部特征值。对称三对角矩阵的形式如下：

\[T = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & & & \\ b_1 & a_2 & b_2 & & \\ & b_2 & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & a_{n-1} & b_{n-1} \\ & & & b_{n-1} & a_n \end{bmatrix} \]

分治法通过递归将矩阵分割为更小的子矩阵，合并子问题的解时利用特征值之间的 interlacing 性质（即 Cauchy 交错定理）和秩-1修正矩阵的特征值求解技巧。

解题步骤

  1. 问题分解
    • 将矩阵 \(T\) 分割为两个对称三对角矩阵和一个秩-1修正项。例如，取分割点 \(k\)（通常为中间位置）：

\[ T = \begin{bmatrix} T_1 & 0 \\ 0 & T_2 \end{bmatrix} + b_k \cdot \mathbf{v} \mathbf{v}^\top \]

 其中 $T_1$ 是前 $k \times k$ 主子矩阵，$T_2$ 是后 $(n-k) \times (n-k)$ 子矩阵，向量 $\mathbf{v}$ 的第 $k$ 和 $k+1$ 分量为 1，其余为 0。
  • 秩-1修正项 \(b_k \mathbf{v} \mathbf{v}^\top\) 仅在位置 \((k,k+1)\) 和 \((k+1,k)\) 有非零值，确保分割不破坏三对角结构。
  1. 递归求解子问题
    • 递归计算 \(T_1\) 和 \(T_2\) 的特征值，得到两个递增序列：

\[ \lambda_1^{(1)} \le \lambda_2^{(1)} \le \cdots \le \lambda_k^{(1)}, \quad \lambda_1^{(2)} \le \lambda_2^{(2)} \le \cdots \le \lambda_{n-k}^{(2)} \]

  • 递归基：当子矩阵为 \(1 \times 1\) 时，特征值即矩阵元素本身。

  1. 合并子问题的解

    • 合并后的矩阵可写为 \(D + \rho \mathbf{u} \mathbf{u}^\top\)，其中 \(D = \operatorname{diag}(T_1, T_2)\) 是对角矩阵（其对角线为 \(T_1\) 和 \(T_2\) 的特征值），\(\rho = b_k\)，\(\mathbf{u}\) 是单位向量（第 \(k\) 和 \(k+1\) 分量非零）。
    • 问题转化为求 秩-1修正对角矩阵 \(D + \rho \mathbf{u} \mathbf{u}^\top\) 的特征值。

  2. 求解秩-1修正特征值问题

    • 特征值 \(\lambda\) 满足 secular equation：

\[ 1 + \rho \sum_{j=1}^n \frac{u_j^2}{d_j - \lambda} = 0 \]

 其中 $d_j$ 是 $D$ 的对角元（即子问题的特征值），$u_j$ 是 $\mathbf{u}$ 的分量。
  • 由于 \(\mathbf{u}\) 仅有两个非零分量（均为 1），方程简化为：

\[ 1 + \rho \left( \frac{1}{d_k - \lambda} + \frac{1}{d_{k+1} - \lambda} \right) = 0 \]

 实际中需考虑 $d_j$ 可能有重根，需用更通用的形式。
  1. 数值求解 secular equation
    • 特征值位于 \(D\) 的各特征值之间（交错性）。具体地，若 \(d_1 \le d_2 \le \cdots \le d_n\)，则 \(D + \rho \mathbf{u} \mathbf{u}^\top\) 的特征值 \(\lambda_i\) 满足：

\[ d_1 \le \lambda_1 \le d_2 \le \lambda_2 \le \cdots \le d_n \le \lambda_n \quad (\text{若 } \rho > 0) \]

  • 在每个区间 \((d_i, d_{i+1})\) 上用牛顿法或有理插值法快速求解 secular equation。
  1. 收敛性与复杂度
    • 递归深度为 \(O(\log n)\)，每层合并需 \(O(n)\) 操作（因需对 \(O(n)\) 个区间求根），总复杂度为 \(O(n \log n)\)（实际中常用更优化的实现达到 \(O(n \log^k n)\)）。

关键点

  • 分治法将原问题拆解为独立子问题，避免直接处理完整矩阵。
  • 利用秩-1修正的特征值交错性质，将特征值定位到隔离区间，保证求根稳定性。
  • 该方法尤其适合并行计算，因子问题可独立求解。
分治法计算对称三对角矩阵特征值 题目描述 给定一个 \(n \times n\) 的实对称三对角矩阵 \(T\)，要求计算其全部特征值。对称三对角矩阵的形式如下： \[ T = \begin{bmatrix} a_ 1 & b_ 1 & & & \\ b_ 1 & a_ 2 & b_ 2 & & \\ & b_ 2 & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & a_ {n-1} & b_ {n-1} \\ & & & b_ {n-1} & a_ n \end{bmatrix} \] 分治法通过递归将矩阵分割为更小的子矩阵，合并子问题的解时利用特征值之间的 interlacing 性质（即 Cauchy 交错定理）和秩-1修正矩阵的特征值求解技巧。 解题步骤 问题分解 将矩阵 \(T\) 分割为两个对称三对角矩阵和一个秩-1修正项。例如，取分割点 \(k\)（通常为中间位置）： \[ T = \begin{bmatrix} T_ 1 & 0 \\ 0 & T_ 2 \end{bmatrix} + b_ k \cdot \mathbf{v} \mathbf{v}^\top \] 其中 \(T_ 1\) 是前 \(k \times k\) 主子矩阵，\(T_ 2\) 是后 \((n-k) \times (n-k)\) 子矩阵，向量 \(\mathbf{v}\) 的第 \(k\) 和 \(k+1\) 分量为 1，其余为 0。 秩-1修正项 \(b_ k \mathbf{v} \mathbf{v}^\top\) 仅在位置 \((k,k+1)\) 和 \((k+1,k)\) 有非零值，确保分割不破坏三对角结构。 递归求解子问题 递归计算 \(T_ 1\) 和 \(T_ 2\) 的特征值，得到两个递增序列： \[ \lambda_ 1^{(1)} \le \lambda_ 2^{(1)} \le \cdots \le \lambda_ k^{(1)}, \quad \lambda_ 1^{(2)} \le \lambda_ 2^{(2)} \le \cdots \le \lambda_ {n-k}^{(2)} \] 递归基：当子矩阵为 \(1 \times 1\) 时，特征值即矩阵元素本身。 合并子问题的解 合并后的矩阵可写为 \(D + \rho \mathbf{u} \mathbf{u}^\top\)，其中 \(D = \operatorname{diag}(T_ 1, T_ 2)\) 是对角矩阵（其对角线为 \(T_ 1\) 和 \(T_ 2\) 的特征值），\(\rho = b_ k\)，\(\mathbf{u}\) 是单位向量（第 \(k\) 和 \(k+1\) 分量非零）。 问题转化为求 秩-1修正对角矩阵 \(D + \rho \mathbf{u} \mathbf{u}^\top\) 的特征值。 求解秩-1修正特征值问题 特征值 \(\lambda\) 满足 secular equation ： \[ 1 + \rho \sum_ {j=1}^n \frac{u_ j^2}{d_ j - \lambda} = 0 \] 其中 \(d_ j\) 是 \(D\) 的对角元（即子问题的特征值），\(u_ j\) 是 \(\mathbf{u}\) 的分量。 由于 \(\mathbf{u}\) 仅有两个非零分量（均为 1），方程简化为： \[ 1 + \rho \left( \frac{1}{d_ k - \lambda} + \frac{1}{d_ {k+1} - \lambda} \right) = 0 \] 实际中需考虑 \(d_ j\) 可能有重根，需用更通用的形式。 数值求解 secular equation 特征值位于 \(D\) 的各特征值之间（交错性）。具体地，若 \(d_ 1 \le d_ 2 \le \cdots \le d_ n\)，则 \(D + \rho \mathbf{u} \mathbf{u}^\top\) 的特征值 \(\lambda_ i\) 满足： \[ d_ 1 \le \lambda_ 1 \le d_ 2 \le \lambda_ 2 \le \cdots \le d_ n \le \lambda_ n \quad (\text{若 } \rho > 0) \] 在每个区间 \((d_ i, d_ {i+1})\) 上用牛顿法或有理插值法快速求解 secular equation。 收敛性与复杂度 递归深度为 \(O(\log n)\)，每层合并需 \(O(n)\) 操作（因需对 \(O(n)\) 个区间求根），总复杂度为 \(O(n \log n)\)（实际中常用更优化的实现达到 \(O(n \log^k n)\)）。 关键点 分治法将原问题拆解为独立子问题，避免直接处理完整矩阵。 利用秩-1修正的特征值交错性质，将特征值定位到隔离区间，保证求根稳定性。 该方法尤其适合并行计算，因子问题可独立求解。