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非线性规划中的信赖域法基础题

**非线性规划中的信赖域法基础题** **题目描述** 考虑非线性约束优化问题：最小化 \( f(x) = (x_1 - 1)^2 + (x_2 - 2.5)^2 \) 满足约束 \( g_1(x) = x_1 - 2x_2 + 2 \geq 0 \)，\( g_2(x) = -x_1 - 2x_2 + 6 \geq 0 \)，\( g_3(x) = -x_1 + 2x_2 + 2 \geq 0 \)，且 \( x_1, x_2 \geq 0 \)。要求使用信赖域法求解该问

2025-10-25 18:55:07

哈希算法题目：字符串中的第一个唯一字符

**哈希算法题目：字符串中的第一个唯一字符** 题目描述：给定一个字符串，找到它的第一个不重复的字符，并返回它的索引。如果不存在，则返回-1。例如，输入字符串"leetcode"，返回0，因为'l'是第一个不重复的字符；输入字符串"loveleetcode"，返回2，因为'v'是第一个不重复的字符。解题过程： 1. 问题分析：我们需要找到字符串中第一个出现且仅出现一次的字符。关键在于如何记录每个字符的出现次数，并按照原字符串的顺序找到第一个满足条件的字符。 2. 核心思路：使用哈希表（

2025-10-25 18:49:48

哈希算法题目：宝石与石头

**哈希算法题目：宝石与石头** **题目描述** 给定一个字符串 `jewels` 代表宝石的类型，以及一个字符串 `stones` 代表你拥有的石头。`stones` 中的每个字符代表了一种你拥有的石头的类型。你想知道你拥有的石头中有多少是宝石。字母区分大小写，因此 `"a"` 和 `"A"` 是不同类型的石头。 **示例 1:** 输入: jewels = "aA", stones = "aAAbbbb" 输出: 3 解释: 字符串 `stones` 中有三个 'a' 或 'A'

2025-10-25 18:44:41

LU分解法解线性方程组

**LU分解法解线性方程组** **题目描述** 给定一个线性方程组 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)，其中 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 的系数矩阵，\( \mathbf{b} \) 是常数向量。要求通过LU分解法求解未知向量 \( \mathbf{x} \)。LU分解的核心是将矩阵 \( A \) 分解为一个下三角矩阵 \( L \) 和一个上三角矩阵 \( U \) 的乘积，即 \( A = LU \)，然后通过两次回代求解方程

2025-10-25 18:39:27

最长公共子序列

**最长公共子序列** 题目描述：给定两个字符串text1和text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。如果不存在公共子序列，返回0。子序列是指在不改变剩余字符相对顺序的情况下，删除某些字符（也可以不删除）后形成的新字符串。解题过程： 1. 问题分析我们需要找到两个字符串中都出现的最长子序列。注意子序列不要求连续，但必须保持原有顺序。例如text1="abcde", text2="ace"，最长公共子序列是"ace"，长度为3。 2. 定义状态定义dp[i][j]表示tex

2025-10-25 18:34:05

哈希算法题目：最长连续序列

**哈希算法题目：最长连续序列** 题目描述：给定一个未排序的整数数组 nums，找出数字连续的最长序列（不要求序列元素在原数组中连续）的长度。请你设计并实现时间复杂度为 O(n) 的算法解决此问题。解题过程： 1. 问题理解我们需要找到最长的连续整数序列。例如，数组 [100, 4, 200, 1, 3, 2] 中最长连续序列是 [1, 2, 3, 4]，长度为 4。注意序列中的数字在原始数组中不一定相邻。 2. 关键思路最直接的思路是对数组排序，然后遍历查找连续序

2025-10-25 18:28:53

非线性规划中的内点法基础题

**非线性规划中的内点法基础题** **题目描述** 考虑一个简单的非线性规划问题：最小化目标函数 \( f(x)1, x_2) = x_1^2 + x_2^2 \) 约束条件为： \( g(x_1, x_2) = x_1 + x_2 - 2 \geq 0 \) 要求使用**内点法（Interior Point Method）** 求解该问题，并说明如何通过迭代逼近最优解。 --- **解题过程** **1. 问题分析** - 目标函数 \( f(x) \)

2025-10-25 18:23:43

高斯-约当消元法解线性方程组

**高斯-约当消元法解线性方程组** **题目描述：** 我们有一个包含 n 个未知数的 n 个线性方程构成的方程组。这个方程组可以用矩阵形式表示为 Ax = b，其中 A 是一个 n x n 的系数矩阵，x 是包含 n 个未知数的列向量，b 是常数项列向量。我们的目标是找到一个向量 x，使得等式成立。高斯-约当消元法通过将增广矩阵 [A | b] 通过行变换化为行最简形式（或称简化行阶梯形），从而直接得到每个未知数的解。 **解题过程：** **第一步：构造增广矩阵** 将线性方程组的系

2025-10-25 18:18:29

区间交集算法

**区间交集算法** 题目描述：给定两个由闭区间组成的列表，每个区间列表都是成对不相交的，并且已经排序。请返回这两个区间列表的交集。示例：输入：firstList = [[0,2],[5,10],[13,23],[24,25]] secondList = [[1,5],[8,12],[15,24],[25,26]] 输出：[[1,2],[5,5],[8,10],[15,23],[24,24],[25,25]] 解题步骤： 1. 问题分析： - 我们需要找到两个区间列表中重叠的

2025-10-25 18:12:57

快速选择算法（QuickSelect）

**快速选择算法（QuickSelect）** 题目描述：给定一个整数数组 `nums` 和一个整数 `k`，请找出数组中第 `k` 个最大的元素。注意，这里的排序顺序是从大到小，即第 1 个最大是数组中的最大值，第 2 个最大是次大值，以此类推。例如，对于 `nums = [3,2,1,5,6,4]`，`k = 2` 时，第 2 个最大元素是 `5`。 --- **解题过程** **1. 问题分析** 最直接的方法是先对数组排序（例如降序排序），然后直接取第 `k-1` 个位

2025-10-25 18:07:46

高斯-约当消元法求矩阵的逆

**高斯-约当消元法求矩阵的逆** 题目描述：给定一个n阶可逆方阵A，求它的逆矩阵A⁻¹。要求使用高斯-约当消元法，通过将增广矩阵[A|I]化为行最简形[I|A⁻¹]来求解。解题过程： 1. 构造增广矩阵创建一个2n×n的矩阵，左边是原矩阵A，右边是n阶单位矩阵I，形式为[A|I] 2. 前向消元从第一列开始，对每一列进行以下操作： - 选取主元：在当前列中找出绝对值最大的元素作为主元 - 行交换：将主元所在行交换到当前处理行 - 主元归一化：将主元所在行除以主元值，使主元变为1

2025-10-25 18:00:48

线性规划的割平面法求解示例

**线性规划的割平面法求解示例** **题目描述** 考虑整数线性规划问题：最大化：\( z = 7x_1 + 9x_2 \) 约束条件： 1. \( -x_1 + 3x_2 \leq 6 \) 2. \( 7x_1 + x_2 \leq 35 \) 3. \( x_1, x_2 \geq 0 \) 4. \( x_1, x_2 \) 为整数 **解题过程** **第一步：求解线性松弛问题** 首先，我们忽略整数约束（条件4），将其视为一个普通的线性规划问题（即线性松弛问题）。我们引入松

2025-10-25 17:31:05

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