高斯-约当消元法求矩阵的逆

题目描述：给定一个n阶可逆方阵A，求它的逆矩阵A⁻¹。要求使用高斯-约当消元法，通过将增广矩阵[A|I]化为行最简形[I|A⁻¹]来求解。

解题过程：

1. 构造增广矩阵
   创建一个2n×n的矩阵，左边是原矩阵A，右边是n阶单位矩阵I，形式为[A|I]

2. 前向消元
   从第一列开始，对每一列进行以下操作：

• 选取主元：在当前列中找出绝对值最大的元素作为主元
• 行交换：将主元所在行交换到当前处理行
• 主元归一化：将主元所在行除以主元值，使主元变为1
• 消元操作：用当前行消去其他行对应列的元素

3. 后向消元
   从最后一列开始，向上进行消元：

• 用当前行消去上方各行对应列的元素
• 确保每个主元上方所有元素都为0

4. 提取逆矩阵
   当左边矩阵化为单位矩阵I时，右边的矩阵就是A的逆矩阵A⁻¹

5. 验证结果
   可以通过计算A×A⁻¹来验证结果是否等于单位矩阵I

这个方法通过一系列初等行变换将原矩阵化为单位矩阵，同时对单位矩阵进行相同的变换，最终得到逆矩阵。