高斯-约当消元法解线性方程组 题目描述： 我们有一个包含 n 个未知数的 n 个线性方程构成的方程组。这个方程组可以用矩阵形式表示为 Ax = b，其中 A 是一个 n x n 的系数矩阵，x 是包含 n 个未知数的列向量，b 是常数项列向量。我们的目标是找到一个向量 x，使得等式成立。高斯-约当消元法通过将增广矩阵 [ A | b ] 通过行变换化为行最简形式（或称简化行阶梯形），从而直接得到每个未知数的解。 解题过程： 第一步：构造增广矩阵 将线性方程组的系数矩阵 A 和常数向量 b 合并，形成一个 n x (n+1) 的增广矩阵。 例如，对于方程组： 2x + y - z = 8 -3x - y + 2z = -11 -2x + y + 2z = -3 其增广矩阵为： [ 2 1 -1 | 8 ] [ -3 -1 2 | -11 ] [ -2 1 2 | -3 ] 第二步：前向消元（化为行阶梯形） 此步骤的目标是自上而下，将矩阵主对角线以下的元素全部变为零，形成一个上三角矩阵。我们逐列进行处理，当前处理的行称为“主元行”，主对角线上的元素称为“主元”。 处理第一列（目标是使 a₂₁ 和 a₃₁ 变为 0）： 确保 a₁₁（第一个主元）不为零。如果为零，需要与下方一个该列元素不为零的行交换。在我们的例子中，a₁₁=2 ≠ 0，很好。 消去 a₂₁（值为-3）： 计算倍数 m₂₁ = a₂₁ / a₁₁ = -3 / 2 = -1.5。将第1行乘以 m₂₁ 后加到第2行上。 新第2行 = 旧第2行 + (-1.5) * 第1行 = [ -3, -1, 2, -11] + (-1.5)* [ 2, 1, -1, 8 ] = [ -3, -1, 2, -11] + [ -3, -1.5, 1.5, -12 ] = [ 0, -2.5, 3.5, -23 ] 消去 a₃₁（值为-2）： 计算倍数 m₃₁ = a₃₁ / a₁₁ = -2 / 2 = -1。将第1行乘以 m₃₁ 后加到第3行上。 新第3行 = 旧第3行 + (-1) * 第1行 = [ -2, 1, 2, -3] + (-1)* [ 2, 1, -1, 8 ] = [ -2, 1, 2, -3] + [ -2, -1, 1, -8 ] = [ 0, 0, 3, -11 ] 现在增广矩阵变为： [ 2 1 -1 | 8 ] [ 0 -2.5 3.5 | -23 ] [ 0 0 3 | -11 ] 处理第二列（目标是使 a₃₂ 变为 0）： 当前主元是 a₂₂，值为 -2.5。注意到 a₃₂ 已经是 0，所以这一列不需要进行任何操作。矩阵已经是行阶梯形（上三角矩阵）。 第三步：后向代入（高斯消元法）与约当消元法的区别 高斯消元法 会在此停步，然后通过 回代 求解：从最后一行解出 z，代入第二行解出 y，再代入第一行解出 x。 高斯-约当消元法 会继续操作，目标是 将主元化为1，并且将主元上方和下方的所有元素都化为0 ，最终得到行最简形式，使得解可以直接读出。 第四步：约当消元（化为行最简形式） 此步骤自下而上进行，确保每个主元为 1，且是该列唯一的非零元。 处理第三列（主元 a₃₃）： 将主元 a₃₃ 化为 1： 将第3行除以 a₃₃ (3)。 新第3行 = 第3行 / 3 = [ 0, 0, 3, -11] / 3 = [ 0, 0, 1, -11/3 ] 利用第3行消去其上方行（第1行和第2行）的第三列元素： 消去 a₁₃（值为-1）： 新第1行 = 旧第1行 - (a₁₃) * 新第3行 = 旧第1行 - (-1) * 新第3行 = 旧第1行 + 新第3行。 = [ 2, 1, -1, 8] + [ 0, 0, 1, -11/3] = [ 2, 1, 0, 8 - 11/3] = [ 2, 1, 0, 13/3 ] 消去 a₂₃（值为3.5）： 新第2行 = 旧第2行 - (a₂₃) * 新第3行 = 旧第2行 - (3.5) * 新第3行。 = [ 0, -2.5, 3.5, -23] - (7/2) * [ 0, 0, 1, -11/3 ] = [ 0, -2.5, 3.5, -23] - [ 0, 0, 7/2, -77/6 ] = [ 0, -2.5, 0, (-138/6) + (77/6)] = [ 0, -2.5, 0, -61/6 ] 现在矩阵变为： [ 2 1 0 | 13/3 ] [ 0 -2.5 0 | -61/6 ] [ 0 0 1 | -11/3 ] 处理第二列（主元 a₂₂）： 将主元 a₂₂ 化为 1： 将第2行除以 a₂₂ (-2.5 或 -5/2)。 新第2行 = 第2行 / (-5/2) = [ 0, -2.5, 0, -61/6] * (-2/5) = [ 0, 1, 0, (61/6)* (2/5)] = [ 0, 1, 0, 122/30] = [ 0, 1, 0, 61/15 ] 利用第2行消去其上方行（第1行）的第二列元素： 消去 a₁₂（值为1）： 新第1行 = 旧第1行 - (a₁₂) * 新第2行 = 旧第1行 - (1) * 新第2行。 = [ 2, 1, 0, 13/3] - [ 0, 1, 0, 61/15 ] = [ 2, 0, 0, (65/15) - (61/15)] = [ 2, 0, 0, 4/15 ] 处理第一列（主元 a₁₁）： 将主元 a₁₁ 化为 1： 将第1行除以 a₁₁ (2)。 新第1行 = 第1行 / 2 = [ 2, 0, 0, 4/15] / 2 = [ 1, 0, 0, 2/15 ] 第五步：得出解 现在增广矩阵已经化为行最简形式： [ 1 0 0 | 2/15 ] [ 0 1 0 | 61/15 ] [ 0 0 1 | -11/3 ] 这直接对应着： x = 2/15 y = 61/15 z = -11/3 方程组的解向量 x 即为 [ 2/15, 61/15, -11/3 ]^T。