LU分解法解线性方程组

字数 2570 2025-10-25 18:57:06

LU分解法解线性方程组

题目描述
给定一个线性方程组 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)，其中 \(A\) 是一个 \(n \times n\) 的系数矩阵，\(\mathbf{b}\) 是常数向量。要求通过LU分解法求解未知向量 \(\mathbf{x}\)。LU分解的核心是将矩阵 \(A\) 分解为一个下三角矩阵 \(L\) 和一个上三角矩阵 \(U\) 的乘积，即 \(A = LU\)，然后通过两次回代求解方程组。

解题过程

步骤1：LU分解的原理

LU分解要求矩阵 \(A\) 可分解为 \(L\) 和 \(U\)，其中：

\(L\) 是下三角矩阵（对角线元素全为1），
\(U\) 是上三角矩阵。
分解后，原方程组变为：

\[L(U\mathbf{x}) = \mathbf{b} \]

令 \(U\mathbf{x} = \mathbf{y}\)，则问题拆解为两步：

解 \(L\mathbf{y} = \mathbf{b}\)（前向代入），
解 \(U\mathbf{x} = \mathbf{y}\)（回代）。

步骤2：进行LU分解（以Doolittle方法为例）

假设 \(A = [a_{ij}]\)，分解后 \(L\) 和 \(U\) 的元素通过以下公式计算（对 \(k = 1, 2, \dots, n\) 循环）：

计算U的第k行（对 \(j = k, k+1, \dots, n\)）：

\[u_{kj} = a_{kj} - \sum_{m=1}^{k-1} l_{km} u_{mj} \]

计算L的第k列（对 \(i = k+1, k+2, \dots, n\)）：

\[l_{ik} = \frac{a_{ik} - \sum_{m=1}^{k-1} l_{im} u_{mk}}{u_{kk}} \]

示例：分解矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \end{bmatrix}\)。

k=1：
\(u_{11} = a_{11} = 2\)，
\(u_{12} = a_{12} = 1\)，
\(u_{13} = a_{13} = 1\)。
\(l_{21} = a_{21}/u_{11} = 4/2 = 2\)，
\(l_{31} = a_{31}/u_{11} = -2/2 = -1\)。
k=2：
\(u_{22} = a_{22} - l_{21}u_{12} = 1 - 2\times1 = -1\)，
\(u_{23} = a_{23} - l_{21}u_{13} = 0 - 2\times1 = -2\)，
\(l_{32} = (a_{32} - l_{31}u_{12}) / u_{22} = (2 - (-1)\times1) / (-1) = -3\)。
k=3：
\(u_{33} = a_{33} - l_{31}u_{13} - l_{32}u_{23} = 1 - (-1)\times1 - (-3)\times(-2) = -4\)。
最终得到：

\[L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -3 & 1 \end{bmatrix}, \quad U = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -4 \end{bmatrix} \]

步骤3：解 \(L\mathbf{y} = \mathbf{b}\)（前向代入）

设 \(\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}\)，解下三角方程组：

\[\begin{cases} y_1 = b_1 = 2 \\ l_{21}y_1 + y_2 = b_2 \Rightarrow 2\times2 + y_2 = 1 \Rightarrow y_2 = -3 \\ l_{31}y_1 + l_{32}y_2 + y_3 = b_3 \Rightarrow (-1)\times2 + (-3)\times(-3) + y_3 = 3 \Rightarrow y_3 = -4 \end{cases} \]

得到 \(\mathbf{y} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ -4 \end{bmatrix}\)。

步骤4：解 \(U\mathbf{x} = \mathbf{y}\)（回代）

解上三角方程组：

\[\begin{cases} u_{33}x_3 = y_3 \Rightarrow -4x_3 = -4 \Rightarrow x_3 = 1 \\ u_{22}x_2 + u_{23}x_3 = y_2 \Rightarrow -1x_2 + (-2)\times1 = -3 \Rightarrow x_2 = 1 \\ u_{11}x_1 + u_{12}x_2 + u_{13}x_3 = y_1 \Rightarrow 2x_1 + 1\times1 + 1\times1 = 2 \Rightarrow x_1 = 0 \end{cases} \]

最终解为 \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)。

总结
LU分解通过将复杂方程组拆解为两个三角方程组，避免了重复计算，尤其适用于需要多次求解不同 \(\mathbf{b}\) 的情况。关键点在于分解的稳定性（需主元非零），实际应用中常结合选主元（如PLU分解）以提高精度。

LU分解法解线性方程组题目描述给定一个线性方程组 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)，其中 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 的系数矩阵，\( \mathbf{b} \) 是常数向量。要求通过LU分解法求解未知向量 \( \mathbf{x} \)。LU分解的核心是将矩阵 \( A \) 分解为一个下三角矩阵 \( L \) 和一个上三角矩阵 \( U \) 的乘积，即 \( A = LU \)，然后通过两次回代求解方程组。解题过程步骤1：LU分解的原理 LU分解要求矩阵 \( A \) 可分解为 \( L \) 和 \( U \)，其中： \( L \) 是下三角矩阵（对角线元素全为1）， \( U \) 是上三角矩阵。分解后，原方程组变为： \[ L(U\mathbf{x}) = \mathbf{b} \] 令 \( U\mathbf{x} = \mathbf{y} \)，则问题拆解为两步：解 \( L\mathbf{y} = \mathbf{b} \)（前向代入），解 \( U\mathbf{x} = \mathbf{y} \)（回代）。步骤2：进行LU分解（以Doolittle方法为例）假设 \( A = [ a_ {ij} ] \)，分解后 \( L \) 和 \( U \) 的元素通过以下公式计算（对 \( k = 1, 2, \dots, n \) 循环）：计算U的第k行（对 \( j = k, k+1, \dots, n \)）： \[ u_ {kj} = a_ {kj} - \sum_ {m=1}^{k-1} l_ {km} u_ {mj} \] 计算L的第k列（对 \( i = k+1, k+2, \dots, n \)）： \[ l_ {ik} = \frac{a_ {ik} - \sum_ {m=1}^{k-1} l_ {im} u_ {mk}}{u_ {kk}} \] 示例：分解矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \)。 k=1 ： \( u_ {11} = a_ {11} = 2 \)， \( u_ {12} = a_ {12} = 1 \)， \( u_ {13} = a_ {13} = 1 \)。 \( l_ {21} = a_ {21}/u_ {11} = 4/2 = 2 \)， \( l_ {31} = a_ {31}/u_ {11} = -2/2 = -1 \)。 k=2 ： \( u_ {22} = a_ {22} - l_ {21}u_ {12} = 1 - 2\times1 = -1 \)， \( u_ {23} = a_ {23} - l_ {21}u_ {13} = 0 - 2\times1 = -2 \)， \( l_ {32} = (a_ {32} - l_ {31}u_ {12}) / u_ {22} = (2 - (-1)\times1) / (-1) = -3 \)。 k=3 ： \( u_ {33} = a_ {33} - l_ {31}u_ {13} - l_ {32}u_ {23} = 1 - (-1)\times1 - (-3)\times(-2) = -4 \)。最终得到： \[ L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -3 & 1 \end{bmatrix}, \quad U = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -4 \end{bmatrix} \] 步骤3：解 \( L\mathbf{y} = \mathbf{b} \)（前向代入）设 \( \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} \)，解下三角方程组： \[ \begin{cases} y_ 1 = b_ 1 = 2 \\ l_ {21}y_ 1 + y_ 2 = b_ 2 \Rightarrow 2\times2 + y_ 2 = 1 \Rightarrow y_ 2 = -3 \\ l_ {31}y_ 1 + l_ {32}y_ 2 + y_ 3 = b_ 3 \Rightarrow (-1)\times2 + (-3)\times(-3) + y_ 3 = 3 \Rightarrow y_ 3 = -4 \end{cases} \] 得到 \( \mathbf{y} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ -4 \end{bmatrix} \)。步骤4：解 \( U\mathbf{x} = \mathbf{y} \)（回代）解上三角方程组： \[ \begin{cases} u_ {33}x_ 3 = y_ 3 \Rightarrow -4x_ 3 = -4 \Rightarrow x_ 3 = 1 \\ u_ {22}x_ 2 + u_ {23}x_ 3 = y_ 2 \Rightarrow -1x_ 2 + (-2)\times1 = -3 \Rightarrow x_ 2 = 1 \\ u_ {11}x_ 1 + u_ {12}x_ 2 + u_ {13}x_ 3 = y_ 1 \Rightarrow 2x_ 1 + 1\times1 + 1\times1 = 2 \Rightarrow x_ 1 = 0 \end{cases} \] 最终解为 \( \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。总结 LU分解通过将复杂方程组拆解为两个三角方程组，避免了重复计算，尤其适用于需要多次求解不同 \( \mathbf{b} \) 的情况。关键点在于分解的稳定性（需主元非零），实际应用中常结合选主元（如PLU分解）以提高精度。