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哈希算法题目：两个数组的交集 II

**哈希算法题目：两个数组的交集 II** **题目描述** 给定两个整数数组 nums1 和 nums2，请以数组形式返回它们的交集。返回结果中每个元素出现的次数，应与元素在两个数组中都出现的次数一致（考虑出现次数）。如果答案不唯一，可以按任意顺序返回。 **示例 1:** 输入：nums1 = [1,2,2,1], nums2 = [2,2] 输出：[2,2] **示例 2:** 输入：nums1 = [4,9,5], nums2 = [9,4,9,8,4] 输出：[4,9] 解释：[

2025-10-26 05:12:47

雅可比特征值算法

**雅可比特征值算法** 我将为您讲解雅可比特征值算法，这是一个用于求解实对称矩阵全部特征值和特征向量的经典数值方法。 **题目描述** 给定一个n阶实对称矩阵A，设计一个算法来求解A的所有特征值和特征向量。要求算法具有数值稳定性，且能提供较高的计算精度。 **解题过程** **1. 算法基本思想** 雅可比算法的核心思想是通过一系列正交相似变换，逐步将对称矩阵A对角化。每次变换消去一个最大的非对角元素，经过多次迭代后，矩阵会收敛到对角矩阵，对角线元素就是特征值，而所有正交变换的乘积就是

2025-10-26 05:07:22

非线性规划中的割平面法基础题

**非线性规划中的割平面法基础题** **题目描述** 考虑非线性规划问题：最小化 \( f(x) = x^2 + 4x + 4 \) 满足约束 \( g(x) = x^2 - 4x \leq 0 \)。要求使用割平面法求解该问题，并详细说明每一步的推导过程。 --- **解题过程** **1. 问题分析** 目标函数 \( f(x) = (x+2)^2 \) 是凸函数，约束 \( g(x) = x(x-4) \leq 0 \) 定义了一个闭区间 \([0,

2025-10-26 05:02:05

LeetCode 79. 单词搜索

**LeetCode 79. 单词搜索** **题目描述** 给定一个 `m x n` 的二维字符网格 `board` 和一个字符串单词 `word`。需要判断单词 `word` 是否存在于网格中。单词必须按照字母顺序，通过相邻的单元格（包括水平相邻或垂直相邻）的字母构成。同一个单元格内的字母不允许被重复使用。 **示例** 输入： ``` board = [ ['A','B','C','E'], ['S','F','C','S'], ['A','D','E','E'

2025-10-26 04:56:36

幂迭代法求矩阵主特征值

**幂迭代法求矩阵主特征值** **题目描述** 给定一个 \( n \times n \) 的矩阵 \( A \)，假设其存在一个严格占优的主特征值（即绝对值最大的特征值），且对应的特征向量唯一。设计一个数值算法，通过迭代逼近该主特征值及其对应的特征向量。 **解题过程** 1. **问题分析** - 矩阵 \( A \) 的特征值 \( \lambda \) 和特征向量 \( v \) 满足 \( Av = \lambda v \)。 - 主特征值 \( \lam

2025-10-26 04:51:20

线性规划的随机规划问题求解示例

**线性规划的随机规划问题求解示例** **题目描述** 某工厂生产两种产品A和B，每吨产品A的利润为3万元，每吨产品B的利润为5万元。生产过程中需消耗两种原材料X和Y，其中每吨产品A消耗X和Y分别为2吨和1吨，每吨产品B消耗X和Y分别为1吨和3吨。原材料X的每日供应量随机服从正态分布N(10, 1)（单位：吨），原材料Y的每日供应量随机服从均匀分布U(8, 12)（单位：吨）。工厂需制定生产计划，在满足**概率约束**（即原材料供应量约束以至少90%的概率成立）的前提下，最大化期望利润。

2025-10-26 04:46:07

列生成算法在切割库存问题中的应用示例

**列生成算法在切割库存问题中的应用示例** **题目描述** 假设一家造纸厂生产宽度为200厘米的原料纸卷，客户需要订购以下尺寸的小纸卷： - 40厘米：30卷 - 50厘米：50卷 - 70厘米：20卷小纸卷需通过切割大纸卷（200厘米）得到，目标是最小化使用的大纸卷数量。一种切割方案需满足： 1. 切割后的小纸卷总宽度不超过200厘米； 2. 每种小纸卷的切割数量为非负整数。这是经典的**一维切割库存问题**，可转化为线性规划模型，并通过列生成算法

2025-10-26 04:40:44

石子合并问题（线性版本）

**石子合并问题（线性版本）** **题目描述** 有 N 堆石子排成一排，每堆石子有一定的质量。每次只能合并相邻的两堆石子，合并的代价为这两堆石子的质量之和。合并后的新堆石子质量即为合并前两堆石子质量之和，且新堆与相邻堆的位置关系保持不变。重复合并，直到所有石子合并成一堆。问将 N 堆石子合并成一堆的最小总代价是多少？例如，有 4 堆石子，质量依次为 [1, 3, 5, 2]。一种合并方案： 1. 合并前两堆（质量1和3），代价=1+3=4，得到新堆质量4，石子堆变为[4,

2025-10-26 04:35:12

非线性规划中的连续二次规划算法基础题

**非线性规划中的连续二次规划算法基础题** **题目描述** 考虑如下非线性规划问题：最小化目标函数 \( f(x) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2 \) 约束条件为： \( g_1(x) = x_1 + x_2 - 2 \leq 0 \) \( g_2(x) = x_1^2 - x_2 \leq 0 \) 初始点 \( x^{(0)} = (0, 0) \)。要求使用连续二次规划算法求解该问题，并详细说明迭代过程。 **解题过程**

2025-10-26 04:29:49

区间内最大子段和查询（Segment Tree 应用）

**区间内最大子段和查询（Segment Tree 应用）** **题目描述** 给定一个整数数组，要求设计一个数据结构，支持以下两种操作： 1. **查询操作**：给定区间 `[L, R]`，返回该区间内的**最大子段和**（即连续子数组的最大和）。 2. **更新操作**：修改数组中某个位置的值。例如，数组 `[1, -3, 4, 2]` 在区间 `[0, 3]` 的最大子段和为 `6`（子数组 `[4, 2]` 的和）。 --- **解题思路** 如果

2025-10-26 04:24:12

基于线性规划的图最大流问题求解示例

**基于线性规划的图最大流问题求解示例** 我将为你讲解如何用线性规划方法求解图的最大流问题。这是一个经典的应用，能帮助你理解线性规划在组合优化中的强大作用。 ### **第一步：问题描述与建模** **1. 问题背景** 想象一个网络，比如一个输油管道系统或交通网络。这个网络由节点（如交叉路口、中转站）和连接节点的有向边（如管道、道路）组成。每条边都有一个**容量**，表示该边能承载的最大流量。我们的目标是，从指定的起点（称为**源点**，source）向指定的终点（称为**汇点**，s

2025-10-26 04:18:55

LeetCode 130. 被围绕的区域

**LeetCode 130. 被围绕的区域** **题目描述** 给定一个 `m x n` 的矩阵 `board`，由字符 `'X'` 和 `'O'` 组成。你需要找到所有被 `'X'` 围绕的区域，并将这些区域中的所有 `'O'` 用 `'X'` 填充。 **关键规则**： - 任何边界上的 `'O'` 都不会被填充为 `'X'`。 - 任何与边界上的 `'O'` 相连（上下左右四个方向）的 `'O'` 也不会被填充。 - 被围绕的区域是指不与边界相连且被 `'X'`

2025-10-26 04:13:07

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