幂迭代法求矩阵主特征值 题目描述 给定一个 \( n \times n \) 的矩阵 \( A \)，假设其存在一个严格占优的主特征值（即绝对值最大的特征值），且对应的特征向量唯一。设计一个数值算法，通过迭代逼近该主特征值及其对应的特征向量。 解题过程 问题分析 矩阵 \( A \) 的特征值 \( \lambda \) 和特征向量 \( v \) 满足 \( Av = \lambda v \)。 主特征值 \( \lambda_ 1 \) 满足 \( |\lambda_ 1| > |\lambda_ 2| \geq \cdots \geq |\lambda_ n| \)。 幂迭代法的核心思想是：反复用 \( A \) 作用在一个初始向量上，迭代方向会逐渐收敛到主特征向量的方向。 算法步骤 步骤1：初始化 选择一个初始向量 \( x_ 0 \)（通常为随机向量，需满足与主特征向量不正交）。 设置迭代次数 \( k = 0 \) 和收敛阈值 \( \epsilon \)。 步骤2：迭代过程 计算 \( y_ {k+1} = A x_ k \)（用矩阵乘法更新向量）。 计算新向量的范数 \( \|y_ {k+1}\| \)（常用2-范数）。 归一化：\( x_ {k+1} = \frac{y_ {k+1}}{\|y_ {k+1}\|} \)（避免数值溢出）。 估计特征值：\( \lambda^{(k+1)} = x_ {k+1}^T A x_ {k+1} \)（瑞利商）。 步骤3：收敛判断 若 \( |\lambda^{(k+1)} - \lambda^{(k)}| < \epsilon \)，则停止迭代，输出 \( \lambda^{(k+1)} \) 和 \( x_ {k+1} \)。 否则，令 \( k = k+1 \)，返回步骤2。 关键细节 归一化的必要性 ：防止迭代中向量分量过大或过小导致数值不稳定。 收敛条件 ：主特征值需严格占优，否则收敛速度慢或不收敛。 瑞利商的作用 ：加速特征值的收敛，比直接使用 \( \|y_ {k+1}\| \) 更精确。 示例演示 设 \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \)，主特征值为 3，特征向量为 \( (1, 1)^T \)。 取 \( x_ 0 = (1, 0)^T \)，迭代后 \( x_ 1 = \frac{(2, 1)^T}{\sqrt{5}} \approx (0.894, 0.447)^T \)。 继续迭代，\( x_ k \) 逐渐逼近 \( (1, 1)^T \)，\( \lambda^{(k)} \) 逼近 3。 注意事项 若主特征值为复数或重复特征值，算法可能失效。 实际应用中常结合位移技术（如逆迭代）加速收敛或处理特殊特征值分布。