雅可比特征值算法 我将为您讲解雅可比特征值算法，这是一个用于求解实对称矩阵全部特征值和特征向量的经典数值方法。 题目描述 给定一个n阶实对称矩阵A，设计一个算法来求解A的所有特征值和特征向量。要求算法具有数值稳定性，且能提供较高的计算精度。 解题过程 1. 算法基本思想 雅可比算法的核心思想是通过一系列正交相似变换，逐步将对称矩阵A对角化。每次变换消去一个最大的非对角元素，经过多次迭代后，矩阵会收敛到对角矩阵，对角线元素就是特征值，而所有正交变换的乘积就是特征向量矩阵。 2. 数学原理 对于实对称矩阵A，存在正交矩阵Q使得： QᵀAQ = Λ 其中Λ是对角矩阵，对角线元素是A的特征值，Q的列向量是对应的特征向量。 雅可比算法通过构造一系列雅可比旋转矩阵J(p,q,θ)，使得： Aₖ₊₁ = JₖᵀAₖJₖ 每次变换消去Aₖ中位置(p,q)的元素。 3. 雅可比旋转矩阵构造 对于要消去的元素aₚq，构造旋转矩阵J(p,q,θ)： J(p,q,θ)是单位矩阵，除了四个元素：Jₚₚ = Jₖₖ = cosθ，Jₚq = -sinθ，Jqₚ = sinθ 旋转角度θ由公式计算：tan(2θ) = 2aₚq/(aₚₚ - aqq) 4. 详细计算步骤 步骤1：初始化 设置特征向量矩阵V = I（单位矩阵） 设置当前矩阵B = A 设置精度阈值ε（如10⁻¹⁰） 步骤2：寻找最大非对角元素 在当前矩阵B中，找到绝对值最大的非对角元素|bₚq| = max|bᵢⱼ| (i≠j) 步骤3：收敛判断 如果|bₚq| < ε，说明矩阵已足够接近对角矩阵，算法结束 步骤4：计算旋转参数 计算旋转角度θ： 如果bₚₚ = bqq，取θ = π/4 否则，计算： φ = (bqq - bₚₚ)/(2bₚq) t = sign(φ)/(|φ| + √(1+φ²)) cosθ = 1/√(1+t²) sinθ = t·cosθ 步骤5：应用旋转变换 更新矩阵B：B' = JᵀBJ 具体计算只影响第p行、第q行和第p列、第q列： b'ₚₚ = bₚₚ - t·bₚq b'qq = bqq + t·bₚq b'ₚq = b'qₚ = 0 对于k≠p,q：b'ₚₖ = bₖₚ = cosθ·bₚₖ - sinθ·bqₖ 对于k≠p,q：b'qₖ = bₖq = sinθ·bₚₖ + cosθ·bqₖ 步骤6：更新特征向量矩阵 V' = V·J 更新特征向量：对于每个行向量vᵢ，更新第p列和第q列： v'ᵢₚ = cosθ·vᵢₚ - sinθ·vᵢq v'ᵢq = sinθ·vᵢₚ + cosθ·vᵢq 步骤7：迭代循环 返回步骤2，继续寻找下一个最大非对角元素 5. 收敛性分析 雅可比算法具有二次收敛性。每次旋转变换都会减小非对角元素的平方和，经过有限次迭代后，矩阵会收敛到对角形式。 6. 结果提取 算法收敛后： 对角线元素bᵢᵢ就是特征值 矩阵V的列向量就是对应的特征向量（已正交归一化） 这个算法特别适合中小规模的对称矩阵特征值问题，具有数值稳定、精度高的优点。