线性规划的随机规划问题求解示例
题目描述
某工厂生产两种产品A和B，每吨产品A的利润为3万元，每吨产品B的利润为5万元。生产过程中需消耗两种原材料X和Y，其中每吨产品A消耗X和Y分别为2吨和1吨，每吨产品B消耗X和Y分别为1吨和3吨。原材料X的每日供应量随机服从正态分布N(10, 1)（单位：吨），原材料Y的每日供应量随机服从均匀分布U(8, 12)（单位：吨）。工厂需制定生产计划，在满足概率约束（即原材料供应量约束以至少90%的概率成立）的前提下，最大化期望利润。试建立随机规划模型并求解。
解题过程
1. 确定决策变量
设每日生产产品A的量为 \(x_1\) 吨，产品B的量为 \(x_2\) 吨（\(x_1, x_2 \geq 0\)）。
2. 建立确定性模型（忽略随机性）
若原材料供应量为固定值（如X=10吨，Y=10吨），模型为：
\[\text{目标函数:} \quad \max 3x_1 + 5x_2 \]
\[\text{约束:} \quad 2x_1 + x_2 \leq 10 \quad (\text{原材料X约束}) \]
\[x_1 + 3x_2 \leq 10 \quad (\text{原材料Y约束}) \]
但本题中原材料供应量为随机变量，需引入概率约束。
3. 引入随机性并建立概率约束
设原材料X的供应量为随机变量 \(\xi_X \sim N(10,1)\)，Y的供应量为 \(\xi_Y \sim U(8,12)\)。要求约束以至少90%的概率成立：
\[P(2x_1 + x_2 \leq \xi_X) \geq 0.9 \quad \text{(1)} \]
\[P(x_1 + 3x_2 \leq \xi_Y) \geq 0.9 \quad \text{(2)} \]
此类含概率约束的模型称为机会约束规划（Chance-Constrained Programming）。
4. 将概率约束转化为确定性等价形式
- 约束(1)的转化：
由 \(\xi_X \sim N(10,1)\)，令 \(z = \frac{\xi_X - 10}{1} \sim N(0,1)\)。约束(1)可写为：
\[P\left( z \geq \frac{2x_1 + x_2 - 10}{1} \right) \geq 0.9 \]
查标准正态分布表，\(P(z \geq -k) \geq 0.9\) 对应 \(-k \leq z_{0.1}\)，其中 \(z_{0.1} \approx -1.28\)（即10%分位数）。因此：
\[\frac{2x_1 + x_2 - 10}{1} \leq -1.28 \quad \Rightarrow \quad 2x_1 + x_2 \leq 10 - 1.28 = 8.72 \]
- 约束(2)的转化：
由 \(\xi_Y \sim U(8,12)\)，其累积分布函数为 \(F(y) = \frac{y-8}{4}\)。约束(2)要求：
\[P(\xi_Y \geq x_1 + 3x_2) \geq 0.9 \quad \Rightarrow \quad 1 - F(x_1 + 3x_2) \geq 0.9 \]
解得 \(F(x_1 + 3x_2) \leq 0.1\)，即：
\[\frac{x_1 + 3x_2 - 8}{4} \leq 0.1 \quad \Rightarrow \quad x_1 + 3x_2 \leq 8.4 \]
5. 得到确定性线性规划模型
转化后的模型为：
\[\max 3x_1 + 5x_2 \]
\[\text{约束:} \quad 2x_1 + x_2 \leq 8.72 \]
\[x_1 + 3x_2 \leq 8.4 \]
\[x_1, x_2 \geq 0 \]
6. 求解确定性模型
使用图解法或单纯形法：
- 约束边界交点：
解方程 \(2x_1 + x_2 = 8.72\) 和 \(x_1 + 3x_2 = 8.4\)，得 \(x_1 \approx 2.54, x_2 \approx 1.95\)。 - 目标函数值： \(3 \times 2.54 + 5 \times 1.95 \approx 17.97\) 万元。
- 验证顶点：
原点：(0,0)，利润=0；
X轴交点：(4.36,0)，利润=13.08（但需检查Y约束：4.36 > 8.4，不可行）；
Y轴交点：(0,2.8)，利润=14（但需检查X约束：2.8 > 8.72，不可行）。
因此最优解为交点 (2.54, 1.95)。
7. 结论
在满足90%概率约束的前提下，每日生产2.54吨产品A和1.95吨产品B，期望利润最大化为17.97万元。随机规划通过概率约束的转化，将不确定性问题转化为确定性优化问题。
关键点总结
- 概率约束需通过分布函数转化为确定性约束。
- 正态分布依赖分位数，均匀分布直接利用累积分布函数。
- 转化后的模型为普通线性规划，可用标准方法求解。