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列生成算法在机组人员调度问题中的应用示例

**列生成算法在机组人员调度问题中的应用示例** **题目描述**：考虑一家航空公司的机组人员调度问题。公司有若干航班需要执行，每个航班有特定的起飞和降落时间、起始机场和目的机场。每位机组成员（如飞行员或乘务员）的工作安排必须是一个合法的"班次"，例如：一个班次由一系列连续的航班组成，班次的总时长（从第一个航班的报到时间到最后一个航班的结束时间）不能超过法定上限，且相邻航班之间必须有足够的中转时间。每个合法的班次都有一个成本（如薪资、住宿等）。公司的目标是：为所有航班分配足够的机组成员，

2025-10-26 07:36:31

非线性规划中的交替方向乘子法基础题

**非线性规划中的交替方向乘子法基础题** **题目描述：** 考虑以下可分离结构的凸优化问题： \[\begin{aligned} \min_{x, y} \quad & f(x) + g(y) \\ \text{s.t.} \quad & Ax + By = c \end{aligned}\] 其中 \(x \in \mathbb{R}^n\), \(y \in \mathbb{R}^m\), \(A \in \mathbb{R}^{p \times n}\), \(B \in \math

2025-10-26 07:31:14

区间内第K小元素查询（QuickSelect 算法）

**区间内第K小元素查询（QuickSelect 算法）** **题目描述** 给定一个整数数组和一个区间 [L, R]，以及一个整数 K，要求快速找出该区间内第 K 小的元素（即排序后位于第 K 位的元素）。注意：K 从 1 开始计数（即第 1 小就是最小值）。例如，数组 [3, 2, 1, 5, 4] 在区间 [1, 3]（对应子数组 [2, 1, 5]）中，第 2 小的元素是 2。 --- **解题思路** 1. **朴素解法**：提取区间内的子数组并排序，直接取第 K 个元

2025-10-26 07:25:55

线性动态规划：最长摆动子序列

**线性动态规划：最长摆动子序列** **题目描述** 给定一个整数数组 `nums`，返回其中最长的摆动子序列的长度。摆动子序列是指相邻元素的差在正负之间严格交替（第一个差可以是正数或负数）。仅有一个元素的序列也被视为摆动序列。如果有两个元素，它们不能相等，否则无法形成有效的摆动。例如： - 输入：`nums = [1,7,4,9,2,5]`，输出：6（整个序列就是摆动序列） - 输入：`nums = [1,17,5,10,13,15,10,5,16,8]`，输出：7（子

2025-10-26 07:20:41

非线性规划中的仿射尺度法基础题

**非线性规划中的仿射尺度法基础题** **题目描述** 考虑一个简单的非线性规划问题：最小化目标函数 \( f(x) = x_1^2 + x_2^2 \) 约束条件为 \( x_1 + x_2 \geq 1 \)（即线性不等式约束），且 \( x_1, x_2 > 0 \)（严格正约束）。要求使用仿射尺度法（Affine Scaling Method）求解该问题，并解释其原理和步骤。 --- **解题过程** **1. 问题重构与标准化** 仿射尺度法主要用

2025-10-26 07:15:20

Gram-Schmidt正交化过程

**Gram-Schmidt正交化过程** **题目描述** 给定一组线性无关的向量组 {**a**₁, **a**₂, ..., **a**_n}，请使用Gram-Schmidt正交化过程，构造出一组标准正交向量组 {**q**₁, **q**₂, ..., **q**_n}，使得这两个向量组张成相同的线性空间。 **解题过程** Gram-Schmidt正交化是一种将线性无关向量组转化为正交向量组，并进一步标准化为单位向量的算法。整个过程分为两步：正交化（消除向量间的相关性）和标

2025-10-26 07:09:58

LeetCode 45. 跳跃游戏 II

**LeetCode 45. 跳跃游戏 II** **题目描述** 给定一个长度为 `n` 的非负整数数组 `nums`，初始位置在数组的第一个下标（索引 0）。数组中的每个元素表示在该位置可以跳跃的最大长度。例如 `nums[i] = 3`，表示从位置 `i` 最多可以向后跳 1、2 或 3 步。你的目标是使用最少的跳跃次数到达数组的最后一个下标（索引 `n-1`）。假设你总是可以到达数组末尾。 **示例** 输入：`nums = [2,3,1,1,4]` 输出：`2` 解

2025-10-26 07:04:45

QR算法计算矩阵特征值

**QR算法计算矩阵特征值** **题目描述** QR算法是一种用于计算任意实数方阵全部特征值的迭代算法。给定一个n×n的矩阵A，QR算法通过迭代过程（Aₖ = QₖRₖ, Aₖ₊₁ = RₖQₖ）产生一个矩阵序列{Aₖ}，该序列通常会收敛到一个上三角矩阵（或分块上三角矩阵），其对角线上的元素就是矩阵A的特征值。这个算法的核心思想是将矩阵A通过相似变换（保持特征值不变）逐步化简为更容易读取特征值的形式。 **解题过程** **第一步：理解基本QR迭代** 1. **初始化**：

2025-10-26 06:59:30

区间覆盖问题

**区间覆盖问题** **题目描述** 给定一个目标区间 `[start, end]` 和一组小区间 `intervals`，判断这些小区间是否能完全覆盖目标区间。如果可以，请找出所需的最少小区间数量；如果不能，则返回无法覆盖。例如，目标区间为 `[0, 5]`，小区间为 `[[0, 2], [1, 3], [3, 5]]`，则答案是 `2`（选择 `[0, 2]` 和 `[3, 5]` 或 `[1, 3]` 和 `[3, 5]`）。 --- **解题过程** **步骤 1: 问

2025-10-26 06:54:09

双对角化算法在矩阵分解中的应用

**双对角化算法在矩阵分解中的应用** **题目描述**：双对角化算法是一种将任意\( m \times n \)矩阵\( A \)通过正交变换转化为上双对角矩阵\( B \)的数值方法，即\( A = U B V^T \)，其中\( U \)和\( V \)为正交矩阵，\( B \)的非零元素仅出现在主对角线及其上方相邻对角线上。这一过程是计算奇异值分解（SVD）的关键预处理步骤，能显著提升SVD的数值稳定性和计算效率。本题要求解释双对角化算法的具体步骤，并说明其如何简化SVD的计算。

2025-10-26 06:48:55

哈希算法题目：单词规律

**哈希算法题目：单词规律** **题目描述** 给定一种规律 `pattern` 和一个字符串 `s`，判断 `s` 是否遵循相同的规律。这里的遵循规律是指： 1. `pattern` 中的每个字母对应一个 `s` 中被空格分割的单词。 2. 每个字母都必须对应一个唯一的单词，且每个单词也必须对应一个唯一的字母（即双射关系）。 3. 如果 `pattern` 和 `s` 的长度不匹配（例如 `pattern` 有 `k` 个字母，但 `s` 分割后单词数不等于 `k`），直接

2025-10-26 06:43:31

区间动态规划例题：戳气球问题（环形版本）

**区间动态规划例题：戳气球问题（环形版本）** **题目描述** 给定一个环形数组 `nums`，表示一排气球，每个气球上标有一个数字。你被要求戳破所有气球。戳破第 `i` 个气球时，你可以获得 `nums[left] * nums[i] * nums[right]` 的分数，其中 `left` 和 `right` 是当前状态下与 `i` 相邻的气球。戳破 `i` 后，`left` 和 `right` 会变成相邻。求戳破所有气球能获得的最大分数。 **环形处理**：由于是环形，首尾气球

2025-10-26 06:38:11

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