QR算法计算矩阵特征值 题目描述 QR算法是一种用于计算任意实数方阵全部特征值的迭代算法。给定一个n×n的矩阵A，QR算法通过迭代过程（Aₖ = QₖRₖ, Aₖ₊₁ = RₖQₖ）产生一个矩阵序列{Aₖ}，该序列通常会收敛到一个上三角矩阵（或分块上三角矩阵），其对角线上的元素就是矩阵A的特征值。这个算法的核心思想是将矩阵A通过相似变换（保持特征值不变）逐步化简为更容易读取特征值的形式。 解题过程 第一步：理解基本QR迭代 初始化 ：设A₁ = A（原始矩阵）。 QR分解 ：对当前矩阵Aₖ进行QR分解，即将其分解为一个正交矩阵Qₖ和一个上三角矩阵Rₖ的乘积：Aₖ = QₖRₖ。 正交矩阵Q满足QᵀQ = I（单位矩阵）。 上三角矩阵R的所有下三角元素（对角线以下）为零。 矩阵重组 ：计算下一次迭代的矩阵Aₖ₊₁ = RₖQₖ。 由于Aₖ₊₁ = RₖQₖ = QₖᵀAₖQₖ，这是一个相似变换，因此Aₖ₊₁与Aₖ具有相同的特征值。 重复迭代 ：重复步骤2和3，直到Aₖ收敛为一个上三角矩阵（对于实特征值）或分块上三角矩阵（对于复特征值对）。 读取特征值 ：收敛后，矩阵Aₖ的对角线元素就是A的特征值。 第二步：处理收敛问题 基本QR迭代可能收敛较慢，尤其是当特征值之间的模长相差不大时。 加速技巧：引入位移（Shift） 在每次迭代中，先对矩阵进行平移：计算Aₖ - μₖI（其中μₖ是一个位移参数，通常选择Aₖ的右下角元素）。 然后对平移后的矩阵进行QR分解：Aₖ - μₖI = QₖRₖ。 重组矩阵：Aₖ₊₁ = RₖQₖ + μₖI。 位移μₖ的选择可以加速收敛，常用的策略有： 单位移 ：μₖ = Aₖ[ n, n ]（右下角元素），适用于实特征值。 双位移 ：当矩阵有复特征值对时，使用两个连续的实位移（基于右下角2×2子矩阵的特征值），避免复数运算。 第三步：实际计算步骤（带位移的QR算法） 预处理：将矩阵化为上Hessenberg形式 为了减少每次QR分解的计算量，先通过相似变换（如Householder变换）将A化为上Hessenberg矩阵（即所有下三角部分除了第一条次对角线外均为零）。 上Hessenberg形式保持QR迭代的高效性，因为QR分解后重组得到的Aₖ₊₁仍是上Hessenberg矩阵。 迭代循环 ： 检查当前矩阵的次对角线元素是否可忽略（小于容差阈值）。如果是，则可将矩阵分块，对对角块分别应用QR算法，减少计算量。 选择位移μₖ（例如，单位移或双位移）。 执行带位移的QR步骤：Aₖ - μₖI = QₖRₖ，Aₖ₊₁ = RₖQₖ + μₖI。 终止条件 ：当所有次对角线元素足够小（例如，小于10⁻¹²）时，对角线元素即为特征值。对于复特征值对，会收敛为2×2对角块，其特征值可通过求解二次方程得到。 第四步：示例说明（简化） 假设A是一个2×2矩阵： \[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \] 特征值可通过解析法求得为3和1。 QR迭代过程： 第一次QR分解：A₁ = Q₁R₁，其中Q₁ ≈ [ 0.894, -0.447; 0.447, 0.894]，R₁ ≈ [ 2.236, 1.789; 0, 1.342 ]。 重组：A₂ = R₁Q₁ ≈ [ 2.8, 0.6; 0.6, 1.2 ]。 继续迭代，Aₖ会收敛到上三角矩阵[ 3, 0; 0, 1 ]，对角线元素即为特征值。 通过以上步骤，QR算法可以高效地计算任意实矩阵的全部特征值，是数值线性代数中的核心方法之一。