Gram-Schmidt正交化过程
题目描述
给定一组线性无关的向量组 {a₁, a₂, ..., a_n}，请使用Gram-Schmidt正交化过程，构造出一组标准正交向量组 {q₁, q₂, ..., q_n}，使得这两个向量组张成相同的线性空间。
解题过程
Gram-Schmidt正交化是一种将线性无关向量组转化为正交向量组，并进一步标准化为单位向量的算法。整个过程分为两步：正交化（消除向量间的相关性）和标准化（将向量长度变为1）。
步骤1：正交化过程
我们从第一个向量开始，逐个处理每个向量，确保新向量与之前所有已处理向量正交。
1.1 令第一个正交向量 u₁ 等于原始向量 a₁：
u₁ = a₁
1.2 计算第二个正交向量 u₂。从 a₂ 中减去它在 u₁ 方向上的投影（即去除与 u₁ 平行的分量）：
u₂ = a₂ - proj_u₁(a₂)
其中投影 proj_u₁(a₂) = [(a₂ · u₁) / (u₁ · u₁)] u₁
这里 "·" 表示向量的点积。分量 (a₂ · u₁) / (u₁ · u₁) 是投影的标量系数。
1.3 计算第三个正交向量 u₃。从 a₃ 中减去它在 u₁ 和 u₂ 方向上的投影：
u₃ = a₃ - proj_u₁(a₃) - proj_u₂(a₃)
其中 proj_u₁(a₃) = [(a₃ · u₁) / (u₁ · u₁)] u₁
proj_u₂(a₃) = [(a₃ · u₂) / (u₂ · u₂)] u₂
1.4 以此类推，对于第 i 个向量 a_i，其对应的正交向量 u_i 的计算公式为：
u_i = ai - Σ{j=1}^{i-1} [ (a_i · u_j) / (u_j · u_j) ] u_j
其中 Σ 表示对 j 从 1 到 i-1 求和。这一步确保每个 u_i 都与之前所有的 u_j (j < i) 正交。
步骤2：标准化过程
将每个正交向量 u_i 除以其自身的模（长度），得到长度为1的单位向量 q_i。
2.1 计算每个正交向量的模：
||u_i|| = √(u_i · u_i)
2.2 得到标准正交向量：
q_i = u_i / ||u_i||
对于每一个 i = 1, 2, ..., n。
最终结果
通过以上步骤，我们得到了一组标准正交向量 {q₁, q₂, ..., q_n}，它们两两正交（q_i · q_j = 0, i ≠ j）且每个向量的模都为1（q_i · q_i = 1）。这组向量与原向量组张成相同的线性空间。