非线性规划中的仿射尺度法基础题

字数 2087 2025-10-26 09:00:43

非线性规划中的仿射尺度法基础题

题目描述
考虑一个简单的非线性规划问题：
最小化目标函数 \(f(x) = x_1^2 + x_2^2\)
约束条件为 \(x_1 + x_2 \geq 1\)（即线性不等式约束），且 \(x_1, x_2 > 0\)（严格正约束）。
要求使用仿射尺度法（Affine Scaling Method）求解该问题，并解释其原理和步骤。

解题过程

1. 问题重构与标准化
仿射尺度法主要用于解决线性规划，但也可通过扩展处理特定非线性问题（如目标函数为凸二次型）。本题中，目标函数是凸二次函数，约束为线性，符合仿射尺度法的适用条件。

首先将不等式约束转化为标准形式：
\(-x_1 - x_2 \leq -1\)。
引入松弛变量 \(s \geq 0\)，将约束写为等式形式：
\(-x_1 - x_2 + s = -1\)，其中 \(s \geq 0\)。
严格正约束 \(x_1, x_2 > 0\) 是仿射尺度法的核心要求（内点法特性）。

2. 仿射尺度法核心思想
仿射尺度法是一种内点法，通过迭代始终保持在可行域内部（即满足 \(x > 0, s > 0\)），避免触碰边界。其关键步骤包括：

缩放变换：在每次迭代中，通过坐标缩放将当前点映射到“中心”位置，使搜索方向更高效。
梯度投影：利用目标函数的梯度信息，在缩放后的空间内构造下降方向。
步长控制：确保迭代后点仍严格满足正约束。

3. 算法步骤详解
步骤 1：初始化
选择初始点 \(x^{(0)} = (x_1, x_2)\) 满足 \(x_1, x_2 > 0\) 且约束成立（例如 \(x^{(0)} = (1, 1)\)，对应 \(s = 1\)）。设定容忍误差 \(\epsilon > 0\)。

步骤 2：构造缩放矩阵

定义对角缩放矩阵 \(D_k = \text{diag}(x_1^{(k)}, x_2^{(k)})\)，其中 \(k\) 为迭代次数。
缩放后的变量为 \(u = D_k^{-1} x\)，将原问题转换为缩放空间中的等价问题。

步骤 3：计算搜索方向

在缩放空间中，目标函数变为 \(f(u) = u^T (D_k^2) u\)。
梯度 \(\nabla f(u) = 2 D_k^2 u\)。
约束条件在缩放空间中为 \(A D_k u = b\)（本例中 \(A = [-1, -1]\), \(b = -1\)）。
搜索方向 \(d_u\) 通过投影梯度法计算：

\[ d_u = -P \nabla f(u), \quad P = I - (A D_k)^T [A D_k^2 A^T]^{-1} A D_k \]

这里 \(P\) 是投影矩阵，确保方向满足约束。

步骤 4：逆缩放与步长选择

将 \(d_u\) 映射回原空间： \(d_x = D_k d_u\)。
选择步长 \(\alpha\) 使得 \(x^{(k+1)} = x^{(k)} + \alpha d_x > 0\)。通常取 \(\alpha = 0.99 \times \min \left\{ -\frac{x_i}{d_{x_i}} \mid d_{x_i} < 0 \right\}\)（避免触碰边界）。

步骤 5：迭代与收敛检查

更新点后，检查梯度投影范数 \(\|d_x\| < \epsilon\)。若满足，则当前点为近似最优解；否则返回步骤 2。

4. 本题的具体计算示例
以初始点 \(x^{(0)} = (1, 1)\) 为例：

缩放矩阵 \(D_0 = \text{diag}(1, 1)\)。
梯度 \(\nabla f(x) = (2, 2)\)。
投影计算：
\(A D_0 = [-1, -1]\),
\(A D_0^2 A^T = 2\),
\(P = I - [-1; -1] (2)^{-1} [-1, -1] = \begin{bmatrix} 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 0.5 \end{bmatrix}\)。
搜索方向 \(d_x = -P \nabla f = (-2, 2)\)。
步长 \(\alpha = 0.99 \times \min\{1/2\} = 0.495\)。
新点 \(x^{(1)} = (1 - 0.99, 1 + 0.99) = (0.01, 1.99)\)。
继续迭代会逼近最优解 \(x^* = (0.5, 0.5)\)。

5. 关键点总结

仿射尺度法通过缩放保持内点特性，避免早期单纯形法的边界遍历问题。
适用于线性或凸二次问题，收敛速度较慢但稳定性高。
严格正约束是算法可行性的核心。

非线性规划中的仿射尺度法基础题题目描述考虑一个简单的非线性规划问题：最小化目标函数 \( f(x) = x_ 1^2 + x_ 2^2 \) 约束条件为 \( x_ 1 + x_ 2 \geq 1 \)（即线性不等式约束），且 \( x_ 1, x_ 2 > 0 \)（严格正约束）。要求使用仿射尺度法（Affine Scaling Method）求解该问题，并解释其原理和步骤。解题过程 1. 问题重构与标准化仿射尺度法主要用于解决线性规划，但也可通过扩展处理特定非线性问题（如目标函数为凸二次型）。本题中，目标函数是凸二次函数，约束为线性，符合仿射尺度法的适用条件。首先将不等式约束转化为标准形式： \( -x_ 1 - x_ 2 \leq -1 \)。引入松弛变量 \( s \geq 0 \)，将约束写为等式形式： \( -x_ 1 - x_ 2 + s = -1 \)，其中 \( s \geq 0 \)。严格正约束 \( x_ 1, x_ 2 > 0 \) 是仿射尺度法的核心要求（内点法特性）。 2. 仿射尺度法核心思想仿射尺度法是一种内点法，通过迭代始终保持在可行域内部（即满足 \( x > 0, s > 0 \)），避免触碰边界。其关键步骤包括：缩放变换：在每次迭代中，通过坐标缩放将当前点映射到“中心”位置，使搜索方向更高效。梯度投影：利用目标函数的梯度信息，在缩放后的空间内构造下降方向。步长控制：确保迭代后点仍严格满足正约束。 3. 算法步骤详解步骤 1：初始化选择初始点 \( x^{(0)} = (x_ 1, x_ 2) \) 满足 \( x_ 1, x_ 2 > 0 \) 且约束成立（例如 \( x^{(0)} = (1, 1) \)，对应 \( s = 1 \)）。设定容忍误差 \( \epsilon > 0 \)。步骤 2：构造缩放矩阵定义对角缩放矩阵 \( D_ k = \text{diag}(x_ 1^{(k)}, x_ 2^{(k)}) \)，其中 \( k \) 为迭代次数。缩放后的变量为 \( u = D_ k^{-1} x \)，将原问题转换为缩放空间中的等价问题。步骤 3：计算搜索方向在缩放空间中，目标函数变为 \( f(u) = u^T (D_ k^2) u \)。梯度 \( \nabla f(u) = 2 D_ k^2 u \)。约束条件在缩放空间中为 \( A D_ k u = b \)（本例中 \( A = [ -1, -1 ] \), \( b = -1 \)）。搜索方向 \( d_ u \) 通过投影梯度法计算： \[ d_ u = -P \nabla f(u), \quad P = I - (A D_ k)^T [ A D_ k^2 A^T]^{-1} A D_ k \] 这里 \( P \) 是投影矩阵，确保方向满足约束。步骤 4：逆缩放与步长选择将 \( d_ u \) 映射回原空间： \( d_ x = D_ k d_ u \)。选择步长 \( \alpha \) 使得 \( x^{(k+1)} = x^{(k)} + \alpha d_ x > 0 \)。通常取 \( \alpha = 0.99 \times \min \left\{ -\frac{x_ i}{d_ {x_ i}} \mid d_ {x_ i} < 0 \right\} \)（避免触碰边界）。步骤 5：迭代与收敛检查更新点后，检查梯度投影范数 \( \|d_ x\| < \epsilon \)。若满足，则当前点为近似最优解；否则返回步骤 2。 4. 本题的具体计算示例以初始点 \( x^{(0)} = (1, 1) \) 为例：缩放矩阵 \( D_ 0 = \text{diag}(1, 1) \)。梯度 \( \nabla f(x) = (2, 2) \)。投影计算： \( A D_ 0 = [ -1, -1 ] \), \( A D_ 0^2 A^T = 2 \), \( P = I - [ -1; -1] (2)^{-1} [ -1, -1 ] = \begin{bmatrix} 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 0.5 \end{bmatrix} \)。搜索方向 \( d_ x = -P \nabla f = (-2, 2) \)。步长 \( \alpha = 0.99 \times \min\{1/2\} = 0.495 \)。新点 \( x^{(1)} = (1 - 0.99, 1 + 0.99) = (0.01, 1.99) \)。继续迭代会逼近最优解 \( x^* = (0.5, 0.5) \)。 5. 关键点总结仿射尺度法通过缩放保持内点特性，避免早期单纯形法的边界遍历问题。适用于线性或凸二次问题，收敛速度较慢但稳定性高。严格正约束是算法可行性的核心。