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哈希算法题目：同构字符串

**哈希算法题目：同构字符串** 题目描述：给定两个字符串 s 和 t，判断它们是否是同构的。如果 s 中的字符可以按某种映射关系替换得到 t，那么这两个字符串是同构的。每个出现的字符都应当映射到另一个字符，同时不改变字符的顺序。不同字符不能映射到同一个字符，相同字符只能映射到同一个字符，字符可以映射到自己本身。解题过程： 1. 问题分析：我们需要建立 s 到 t 的双向映射关系。这意味着： - s 中的同一个字符不能映射到 t 中的两个不同字符 - t 中的同一个字符不能被

2025-10-26 10:52:21

线性动态规划：解码方法

**线性动态规划：解码方法** **题目描述** 一条包含字母 A-Z 的消息通过以下映射进行了编码： 'A' -> "1" 'B' -> "2" ... 'Z' -> "26" 现在，给定一个只包含数字的非空字符串 s，请计算并返回解码方法的总数。题目数据保证答案肯定是一个 32 位的整数。 **示例 1** 输入：s = "12" 输出：2 解释：它可以解码为 "AB"（1 2）或者 "L"（12）。 **示例 2** 输入：s = "226" 输出：3 解

2025-10-26 10:47:10

Krylov子空间方法解线性方程组

**Krylov子空间方法解线性方程组** **题目描述**：给定一个大型稀疏线性方程组 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)，其中 \( A \) 是 \( n \times n \) 的矩阵，\( \mathbf{b} \) 是已知向量。由于矩阵规模较大，直接法（如LU分解）计算成本高。Krylov子空间方法通过迭代在子空间内寻找近似解。本题以典型的共轭梯度法（CG）为例，要求解对称正定矩阵的线性方程组。 **解题过程**： 1. **问题分析**：

2025-10-26 10:41:50

线性规划的原始-对偶内点法求解示例

**线性规划的原始-对偶内点法求解示例** **题目描述** 考虑以下线性规划问题：最大化：\( z = 4x_1 + 6x_2 \) 约束条件： \( x_1 + 2x_2 \leq 10 \) \( 2x_1 + x_2 \leq 10 \) \( x_1 \geq 0, x_2 \geq 0 \) 我们将使用原始-对偶内点法来求解这个问题。与单纯形法在可行域顶点间移动不同，内点法从可行域内部出发，沿着一条中心路径逼近最优解。原始-对偶方法是其中最有效和广泛应用的内点法之一。 **解

2025-10-26 10:36:34

希尔排序（Shell Sort）

**希尔排序（Shell Sort）** 题目描述：给定一个整数数组，使用希尔排序算法将其按升序排列。希尔排序是插入排序的改进版，通过将数组元素按间隔分组进行插入排序，逐渐缩小间隔直至为1，最终完成排序。 **解题步骤** 1. **核心思想** 希尔排序通过定义增量序列（即间隔序列），将数组划分为多个子序列，对每个子序列进行插入排序。随着增量逐渐减小，数组整体趋于有序，最后当增量为1时，整个数组只需少量调整即可完成排序。 2. **选择增量序列** 常用的增

2025-10-26 10:30:53

区间内不同元素个数查询（Mo's Algorithm）

**区间内不同元素个数查询（Mo's Algorithm）** **题目描述** 给定一个长度为n的数组和多个查询，每个查询要求回答某个区间[L, R]内有多少个不同的元素。例如数组[1,2,3,2,2,1,3]，查询[2,5]（下标从1开始）的结果是2（元素2和3）。 **解题过程** **1. 问题分析** - 直接方法：对每个查询遍历区间统计不同元素，时间复杂度O(n*q)（q为查询次数） - 核心矛盾：多个查询间存在区间重叠，直接法没有利用这个特性 - 关键思路：通过合理安排查询顺

2025-10-26 10:25:44

非线性规划中的模拟退火算法基础题

**非线性规划中的模拟退火算法基础题** **题目描述** 考虑非线性规划问题：最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 其中 x = (x₁, x₂) ∈ ℝ²，且满足约束条件： - x₁² + x₂² ≤ 4 - x₁ ≥ 0 这是一个带约束的非线性优化问题。目标函数f(x)非凸，可能存在多个局部极小点。要求使用模拟退火算法寻找全局最优解。 **解题过程** **1. 算法原理介绍** 模拟退火算法源于固体退火过程：将固体加热至高温后缓慢冷却，使其达到能

2025-10-26 10:20:28

戳气球问题（环形版本）

**戳气球问题（环形版本）** **题目描述** 有一个由 `n` 个气球组成的环形数组，每个气球上标有一个数字。你需要戳破所有气球，但戳破第 `i` 个气球时，会获得 `nums[i-1] * nums[i] * nums[i+1]` 的得分（若索引越界，则视为乘以 1）。求能获得的最大总得分。 **解题思路** 1. **环形转线性**：将原数组复制一份接在末尾，形成长度为 `2n` 的数组，但只需考虑长度为 `n+1` 的区间即可覆盖所有环形情况。 2. **定义状态**：

2025-10-26 10:15:14

复合梯形公式的推导与应用

**复合梯形公式的推导与应用** **题目描述**：推导复合梯形公式，并应用该公式计算定积分 \( I = \int_{0}^{1} e^{-x^2} \, dx \) 的近似值，要求将积分区间 \([0, 1]\) 等分为 4 个子区间。 --- **解题过程**： **1. 复合梯形公式的推导** 首先回顾基础梯形公式：对于区间 \([a, b]\) 上的积分，梯形公式为： \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{2} \

2025-10-26 10:10:06

哈希算法题目：寻找重复的子树

**哈希算法题目：寻找重复的子树** **题目描述** 给定一棵二叉树的根节点 `root`，返回所有重复的子树。对于同一类的重复子树，只需返回其中任意一棵的根节点即可。如果两棵树具有相同的结构和节点值，则认为它们是重复的。 **示例** 输入：`root = [1,2,3,4,null,2,4,null,null,4]` 输出：`[[2,4],[4]]` 解释： - 子树 `[4]` 出现多次（叶子节点 4 和子树中的 4）。 - 子树 `[2,4]` 也重复出现（

2025-10-26 10:04:49

Givens旋转在QR分解中的应用

**Givens旋转在QR分解中的应用** **题目描述** Givens旋转是一种用于QR分解的数值稳定方法，通过一系列平面旋转变换将矩阵逐步转化为上三角矩阵。与Householder变换不同，Givens旋转通过零化矩阵中的特定非零元素来实现正交三角化。本题目将详细讲解如何使用Givens旋转实现QR分解，包括旋转矩阵的构造、元素零化过程以及算法步骤。 **解题过程** 1. **基本概念** - QR分解的目标是将一个m×n矩阵A分解为A=QR，其中Q是m×m正交矩阵（QᵀQ=

2025-10-26 09:59:28

非线性规划中的积极集法基础题

**非线性规划中的积极集法基础题** **题目描述** 考虑以下不等式约束非线性规划问题：最小化函数 f(x) = (x₁ - 2)² + (x₂ - 1)² 满足约束条件： g₁(x) = x₁ + x₂ - 2 ≤ 0 g₂(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 g₃(x) = -x₁ ≤ 0 g₄(x) = -x₂ ≤ 0 这是一个二维优化问题，目标函数是凸二次函数，约束包括线性不等式和非线性不等式。我们需要找到满足所有约束的条件下使目标函数最小的点。 **解题过程** **第一步

2025-10-26 09:54:12

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