非线性规划中的模拟退火算法基础题

题目描述
考虑非线性规划问题：
最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)²
其中 x = (x₁, x₂) ∈ ℝ²，且满足约束条件：

• x₁² + x₂² ≤ 4
• x₁ ≥ 0

这是一个带约束的非线性优化问题。目标函数f(x)非凸，可能存在多个局部极小点。要求使用模拟退火算法寻找全局最优解。

解题过程

1. 算法原理介绍
模拟退火算法源于固体退火过程：将固体加热至高温后缓慢冷却，使其达到能量最低的稳定状态。算法通过模拟这一过程，在解空间中随机搜索，通过引入"温度"参数控制搜索过程，既接受使目标函数值下降的移动，也以一定概率接受使目标函数值上升的移动，从而有可能跳出局部最优解，逐步趋向全局最优解。

2. 算法参数设置

• 初始温度T₀ = 100（足够高以使算法在初期能充分探索解空间）
• 温度衰减系数α = 0.95（控制温度下降速度）
• 每个温度下的迭代次数L = 50（马尔可夫链长度）
• 终止温度T_min = 10⁻⁶（停止条件）
• 初始解x⁽⁰⁾ = (1, 1)（可行域内随机选择）

3. 邻域结构设计
在当前解x = (x₁, x₂)的邻域内生成新解x'：
x₁' = x₁ + δ₁, x₂' = x₂ + δ₂
其中δ₁, δ₂为[-0.5, 0.5]内均匀分布的随机数。生成新解后需检验可行性：若x'不满足约束条件（x₁'² + x₂'² > 4 或 x₁' < 0），则重新生成或采用投影方式将其拉回可行域。

4. 接受准则
新解x'的接受概率采用Metropolis准则：
P = min{1, exp(-(f(x') - f(x))/T)}

• 若f(x') ≤ f(x)，总是接受新解
• 若f(x') > f(x)，以概率P接受新解（即生成[0,1]均匀随机数r，若r < P则接受）

5. 温度更新
采用指数降温策略：T ← α×T
每次温度降低后，在当前温度下进行L次迭代，生成新解并依据接受准则更新当前解。

6. 算法步骤

1. 初始化T=T₀, x=x⁽⁰⁾, 记录当前最优解x_best=x
2. while T > T_min:
3. for i=1 to L:

4. 在x的邻域内随机生成新解x'
   

5. 若x'不可行，则处理使其满足约束
   

6. 计算Δf = f(x') - f(x)
   

7. 若Δf < 0，则接受x'为新当前解，更新x=x'
   

8. 否则，以概率exp(-Δf/T)接受x'
   

9. 若f(x') < f(x_best)，则更新x_best=x'
   

10. end for
11. 更新温度T=α×T
12. end while
13. 输出最优解x_best和最优值f(x_best)

7. 收敛性分析
随着温度T降低，接受劣解的概率逐渐减小，算法从初期的广泛搜索逐渐转向局部精细搜索。理论上，当降温速度足够慢时，算法能以概率1收敛到全局最优解。

8. 结果验证
通过多次独立运行算法，观察解的稳定性。可与其他优化方法（如梯度下降）结果比较，验证找到的是全局最优而非局部最优。对于本例，理论全局最优解在(2,1)附近，f(x)≈0。