Givens旋转在QR分解中的应用

题目描述
Givens旋转是一种用于QR分解的数值稳定方法，通过一系列平面旋转变换将矩阵逐步转化为上三角矩阵。与Householder变换不同，Givens旋转通过零化矩阵中的特定非零元素来实现正交三角化。本题目将详细讲解如何使用Givens旋转实现QR分解，包括旋转矩阵的构造、元素零化过程以及算法步骤。

解题过程

1. 基本概念

   • QR分解的目标是将一个m×n矩阵A分解为A=QR，其中Q是m×m正交矩阵（QᵀQ=I），R是m×n上三角矩阵。
   • Givens旋转通过构造特定的旋转矩阵，在二维平面内进行坐标旋转，从而零化矩阵中的特定元素。

2. Givens旋转矩阵构造

   • 对于要零化的元素a_{ij}和主对角线上方的元素a_{kj}（k<i），构造2×2旋转矩阵：

     G = [c  s]
         [-s c]
     

     其中c=cosθ, s=sinθ。
   • 参数计算：令r=√(a_{kj}²+a_{ij}²)，则c=a_{kj}/r, s=a_{ij}/r
   • 扩展为m×m矩阵G(i,k,θ)，仅在(i,i),(i,k),(k,i),(k,k)位置与单位矩阵不同

3. 元素零化过程

   • 以4×3矩阵为例，演示零化顺序：

     原始矩阵：
     [× × ×]
     [× × ×] 
     [× × ×]
     [× × ×]
     
     步骤1：零化(2,1)元素
     [× × ×]
     [0 × ×]
     [× × ×]
     [× × ×]
     
     步骤2：零化(3,1)元素
     [× × ×]
     [0 × ×]
     [0 × ×]
     [× × ×]
     
     步骤3：零化(4,1)元素
     [× × ×]
     [0 × ×]
     [0 × ×]
     [0 × ×]
     
     步骤4：零化(3,2)元素
     [× × ×]
     [0 × ×]
     [0 0 ×]
     [0 × ×]
     
     步骤5：零化(4,2)元素
     [× × ×]
     [0 × ×]
     [0 0 ×]
     [0 0 ×]
     
     步骤6：零化(4,3)元素
     [× × ×]
     [0 × ×]
     [0 0 ×]
     [0 0 0]
     

4. 算法步骤

   • 初始化Q为单位矩阵，R为A的副本
   • 对于j=1到n（列遍历）：
     • 对于i=m到j+1（从下往上零化列元素）：
       • 如果R[i,j]≠0：
         • 计算旋转参数：r=√(R[j,j]²+R[i,j]²)
         • c=R[j,j]/r, s=R[i,j]/r
         • 构造Givens矩阵G
         • 更新R：R=GᵀR（只影响第j行和第i行）
         • 更新Q：Q=QG（累积正交变换）
   • 最终得到A=QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵

5. 数值稳定性

   • Givens旋转在计算旋转参数时采用平方和开方运算，数值稳定性良好
   • 避免了Householder变换中可能出现的放大误差问题
   • 特别适合稀疏矩阵和并行计算环境

6. 应用场景

   • 最小二乘问题求解
   • 特征值计算（QR算法）
   • 矩阵的秩揭示分解
   • 需要增量更新的数值计算问题

通过这种逐步旋转的方法，Givens旋转能够稳定地将任意矩阵转化为上三角形式，同时保持数值精度，是QR分解中的重要技术之一。