复合梯形公式的推导与应用 题目描述 ： 推导复合梯形公式，并应用该公式计算定积分 \( I = \int_ {0}^{1} e^{-x^2} \, dx \) 的近似值，要求将积分区间 \([ 0, 1 ]\) 等分为 4 个子区间。 解题过程 ： 1. 复合梯形公式的推导 首先回顾基础梯形公式：对于区间 \([ a, b ]\) 上的积分，梯形公式为： \[ \int_ {a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{2} \left[ f(a) + f(b) \right ]. \] 此公式用直线连接点 \((a, f(a))\) 和 \((b, f(b))\)，近似代替曲线进行积分，误差较大。为提升精度，将区间分割为多个子区间，在每个子区间上应用梯形公式，再求和，即得复合梯形公式。 将区间 \([ a, b]\) 等分为 \(n\) 个子区间，步长 \(h = \frac{b-a}{n}\)，节点为 \(x_ k = a + kh\)（\(k = 0, 1, \dots, n\))。在每个子区间 \([ x_ {k-1}, x_ k ]\) 上应用梯形公式： \[ \int_ {x_ {k-1}}^{x_ k} f(x) \, dx \approx \frac{h}{2} \left[ f(x_ {k-1}) + f(x_ k) \right ]. \] 对 \(k=1\) 到 \(n\) 求和，得到复合梯形公式： \[ \int_ {a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{2} \left[ f(x_ 0) + 2\sum_ {k=1}^{n-1} f(x_ k) + f(x_ n) \right ]. \] 公式中，端点 \(f(x_ 0)\) 和 \(f(x_ n)\) 的系数为 1，内部节点系数为 2。 2. 应用复合梯形公式计算给定积分 问题：计算 \( I = \int_ {0}^{1} e^{-x^2} \, dx \)，其中 \(n=4\)，步长 \(h = \frac{1-0}{4} = 0.25\)。 节点为： \[ x_ 0 = 0,\ x_ 1 = 0.25,\ x_ 2 = 0.5,\ x_ 3 = 0.75,\ x_ 4 = 1. \] 计算函数值（保留4位小数）： \[ f(x_ 0) = e^{0} = 1.0000,\quad f(x_ 1) = e^{-0.0625} \approx 0.9394, \] \[ f(x_ 2) = e^{-0.25} \approx 0.7788,\quad f(x_ 3) = e^{-0.5625} \approx 0.5698, \] \[ f(x_ 4) = e^{-1} \approx 0.3679. \] 代入复合梯形公式： \[ I \approx \frac{0.25}{2} \left[ f(0) + 2\left(f(0.25) + f(0.5) + f(0.75)\right) + f(1) \right ] \] \[ = 0.125 \left[ 1.0000 + 2(0.9394 + 0.7788 + 0.5698) + 0.3679 \right ] \] \[ = 0.125 \left[ 1.0000 + 2 \times 2.2880 + 0.3679 \right ] \] \[ = 0.125 \left[ 1.0000 + 4.5760 + 0.3679 \right ] = 0.125 \times 5.9439 \approx 0.7430. \] 3. 误差分析与讨论 复合梯形公式的截断误差为： \[ E = -\frac{(b-a)h^2}{12} f''(\xi), \quad \xi \in [ a, b ]. \] 对于 \(f(x) = e^{-x^2}\)，其二阶导数 \(f''(x) = (4x^2 - 2)e^{-x^2}\)。在 \([ 0,1 ]\) 上，\(|f''(x)| \leq 2\)，因此误差上界约为： \[ |E| \leq \frac{1 \cdot (0.25)^2}{12} \cdot 2 \approx 0.0104. \] 实际误差可通过与高精度结果（如0.7468）比较验证：\(|0.7430 - 0.7468| = 0.0038\)，在误差界内。增加 \(n\) 可进一步提高精度。