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xxx 无向图的双连通分量（Biconnected Components）

**xxx 无向图的双连通分量（Biconnected Components）** **题目描述** 在一个无向连通图中，我们称一个顶点为“割点”（Articulation Point），如果移除该顶点及其相连的边后，图会变得不再连通。而“双连通分量”则是一个极大的双连通子图。一个双连通子图意味着其中不包含任何割点，或者说，任意移除一个顶点，剩下的子图仍然是连通的。我们的目标是找出给定无向图的所有双连通分量。 **解题过程** 我们可以使用基于深度优先搜索（DFS）的算法来求解这个问题，它和

2025-11-08 09:01:47

深度学习中优化器的SGD with Projected Gradient（带梯度投影的随机梯度下降）算法原理与实现细节

**深度学习中优化器的SGD with Projected Gradient（带梯度投影的随机梯度下降）算法原理与实现细节** **题目描述** SGD with Projected Gradient 是一种带约束优化的随机梯度下降变体，核心思想是在参数更新后，将参数投影到可行域（如满足边界约束的集合）中。该算法适用于训练带有显式约束（如非负权重、范数约束）的深度学习模型，例如非负矩阵分解、带约束的强化学习策略等。 **解题过程** 1. **问题定义** - 标准SGD的

2025-11-08 08:56:21

区间动态规划例题：最小涂色次数问题（字符串染色问题）

**区间动态规划例题：最小涂色次数问题（字符串染色问题）** **题目描述** 给定一个字符串s，你需要将字符串染成目标颜色。每次染色操作可以选择一个区间，将这个区间内的所有字符染成同一种颜色。问最少需要多少次染色操作才能将整个字符串染成目标颜色。注意：初始时字符串是空白的（可以认为是无色），或者你可以假设初始字符串与目标完全不同。目标颜色由字符串s给出，s[i]表示位置i的目标颜色。示例：输入：s = "aabaa" 输出：2 解释：第一次染色整个字符串为'a'，第二次染色中间三个

2025-11-08 08:45:47

分块矩阵的Gauss-Seidel迭代法解线性方程组

**分块矩阵的Gauss-Seidel迭代法解线性方程组** **题目描述** 考虑大型线性方程组 Ax = b，其中 A 是 n×n 矩阵，x 和 b 是 n 维向量。当 A 是分块矩阵时，我们可以将 A 划分为若干个子矩阵块，例如一个 2×2 的分块形式： A = [A₁₁, A₁₂; A₂₁, A₂₂]。相应地，向量 x 和 b 也进行分块：x = [x₁; x₂]，b = [b₁; b₂]。分块Gauss-Seidel迭代法是一种迭代算法，用于求解此类分块结构的线性方程组。其核心思

2025-11-08 08:40:33

非线性规划中的Frank-Wolfe算法基础题

**非线性规划中的Frank-Wolfe算法基础题** **题目描述** 考虑一个非线性规划问题，其中目标函数是光滑凸函数，约束条件为线性不等式。具体问题如下：最小化 \( f(x) = (x_1 - 3)^2 + (x_2 - 4)^2 \) 约束条件为： \[ \begin{aligned} x_1 + x_2 &\leq 5, \\ 2x_1 - x_2 &\leq 6, \\ x_1, x_2 &\geq 0. \end{aligned} \] 要求使用Frank-Wolfe算法（也

2025-11-08 08:35:15

径向基函数（RBF）网络的原理与训练过程

**径向基函数（RBF）网络的原理与训练过程** **题目描述** 径向基函数网络是一种三层前馈神经网络，常用于函数逼近、分类和非线性回归任务。其核心思想是：通过径向基函数（如高斯函数）将输入数据映射到高维特征空间，并在该空间中构造线性组合以实现复杂映射。RBF网络包含输入层、隐藏层（径向基层）和输出层，需解决的关键问题包括：隐藏层中心的选择、径向基函数宽度的确定，以及输出层权重的计算。本题将详细讲解RBF网络的结构设计、前向传播机制，并逐步推导其训练过程（包括聚类确定中心、宽度计算及权重

2025-11-08 08:24:35

基于线性规划的Karmarkar内点法求解示例

**基于线性规划的Karmarkar内点法求解示例** **题目描述** 考虑以下线性规划问题：最小化目标函数 \( z = -x_1 - x_2 \) 约束条件： \[ \begin{aligned} x_1 - 2x_2 + x_3 &= 0, \\ x_1 + x_2 + x_4 &= 1, \\ x_1, x_2, x_3, x_4 &\geq 0. \end{aligned} \] 要求使用Karmarkar内点法求解该问题，逐步展示从初始可行点到最优解的迭代过

2025-11-08 08:19:20

基于深度学习的图像语义分割算法：Mask2Former

**基于深度学习的图像语义分割算法：Mask2Former** **题目描述** Mask2Former是一种基于Transformer架构的通用图像分割模型，能够统一处理语义分割、实例分割和全景分割任务。其核心创新在于提出了“掩码分类”（mask classification）范式，通过替换传统的逐像素分类，将分割任务转化为预测一组二进制掩码和对应的类别标签。该算法通过引入Transformer解码器中的掩码注意力机制，显著提升了分割精度和训练效率，尤其在处理复杂场景和细小物体时表现出色

2025-11-08 08:08:28

Q学习（Q-Learning）算法的原理与价值迭代过程

**Q学习（Q-Learning）算法的原理与价值迭代过程** **题目描述** Q学习是一种经典的免模型强化学习算法，用于解决马尔可夫决策过程（MDP）问题。其核心目标是学习一个动作价值函数Q(s, a)，表示在状态s下执行动作a后，遵循当前策略所能获得的累积期望奖励。Q学习通过与环境交互逐步优化Q函数，最终得到最优策略，而无需已知环境的动态特性（如状态转移概率）。 **解题过程** 1. **问题建模** - 将问题抽象为MDP：定义状态空间S、动作空间A、即时奖励函数

2025-11-08 07:52:27

石子游戏 II

**石子游戏 II** **题目描述** 给定一个整数数组 `piles`，表示一排石子堆，每堆石子数量为 `piles[i]`。Alice 和 Bob 轮流进行游戏，Alice 先手。在每一轮中，玩家可以取走当前最左边的 `X` 堆石子，其中 `1 <= X <= 2M`。然后，将 `M` 更新为 `max(M, X)`。游戏持续到所有石子都被取走。假设 Alice 和 Bob 都发挥出最佳水平，目标是让 Alice 能够获得的最大石子总数。 **解题过程** 1. **问题分析**

2025-11-08 07:47:17

基于线性规划的集合覆盖问题求解示例

**基于线性规划的集合覆盖问题求解示例** **问题描述** 集合覆盖问题（Set Cover Problem）是组合优化中的经典NP难问题，其目标是用最少的子集覆盖全集中的所有元素。具体来说，给定一个全集 \( U = \{1, 2, ..., m\} \) 和若干子集 \( S_1, S_2, ..., S_n \subseteq U \)，每个子集 \( S_j \) 有一个成本 \( c_j > 0 \)，需选择总成本最小的子集组合，使得 \( U \) 中每个元素至少被一个选中的

2025-11-08 07:31:28

列生成算法在电力系统经济调度问题中的应用示例

**列生成算法在电力系统经济调度问题中的应用示例** **题目描述** 电力系统经济调度问题旨在确定各发电机组的出力水平，在满足电力负荷需求、机组技术约束和网络传输限制的前提下，使总发电成本最小。该问题可建模为大规模线性规划模型，但机组数量众多时模型变量维度高，直接求解效率低。列生成算法通过将问题分解为主问题（满足负荷需求）和定价子问题（生成新机组运行方案），逐步迭代优化，有效降低计算复杂度。 **解题步骤** 1. **问题建模** - 设电力系统有 \( T \) 个

2025-11-08 07:26:11

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