列生成算法在电力系统经济调度问题中的应用示例
字数 1553 2025-11-08 10:02:38

列生成算法在电力系统经济调度问题中的应用示例

题目描述
电力系统经济调度问题旨在确定各发电机组的出力水平，在满足电力负荷需求、机组技术约束和网络传输限制的前提下，使总发电成本最小。该问题可建模为大规模线性规划模型，但机组数量众多时模型变量维度高，直接求解效率低。列生成算法通过将问题分解为主问题（满足负荷需求）和定价子问题（生成新机组运行方案），逐步迭代优化，有效降低计算复杂度。

解题步骤

  1. 问题建模
    • 设电力系统有 \(T\) 个时段，\(N\) 个发电机组，第 \(i\) 台机组的发电成本为 \(c_i\)（元/MWh），最大/最小出力为 \(P_{i}^{\max}\)、\(P_{i}^{\min}\)，爬坡速率限制为 \(R_i\)。
    • 主问题目标函数为最小化总成本：

\[ \min \sum_{t=1}^{T} \sum_{i=1}^{N} c_i P_{i,t} \]

 约束包括：  
 - 负荷平衡：$ \sum_{i=1}^{N} P_{i,t} = D_t \quad (\forall t) $（$ D_t $ 为第 $ t $ 时段负荷）；  
 - 机组出力范围：$ P_{i}^{\min} \leq P_{i,t} \leq P_{i}^{\max} $；  
 - 爬坡约束：$ |P_{i,t} - P_{i,t-1}| \leq R_i $。

  1. 列生成框架设计

    • 限制主问题（RMP）：初始仅包含部分机组运行方案（如基荷机组），通过列生成逐步添加新列（即机组的出力计划）。
    • 定价子问题：对每台未激活的机组，求解其降低成本的潜力。子问题目标为计算检验数 \(\sigma_i = c_i - \pi_t\)，其中 \(\pi_t\) 是负荷平衡约束的对偶变量。若 \(\sigma_i < 0\)，则生成该机组的新运行方案加入主问题。

  2. 迭代求解过程

    • 步骤1：求解初始RMP（如仅包含部分机组），得到对偶变量 \(\pi_t\)。
    • 步骤2：对每台机组求解子问题：

\[ \min \left\{ c_i - \pi_t \mid P_{i}^{\min} \leq P_{i,t} \leq P_{i}^{\max},\ |P_{i,t} - P_{i,t-1}| \leq R_i \right\} \]

 若目标值 $ \sigma_i < 0 $，则生成对应出力序列 $ \{P_{i,t}\} $ 作为新列加入RMP。
  • 步骤3：更新RMP，重新求解并对偶变量，重复步骤2直至所有 \(\sigma_i \geq 0\)（满足最优性条件）。

  1. 关键技术细节

    • 初始列生成：可优先添加成本低、调节灵活的机组（如燃气机组）以加速收敛。
    • 约束处理：爬坡约束在子问题中通过动态规划求解，确保时序可行性。
    • 终止条件：当所有机组检验数非负时，当前解即为全局最优。

  2. 实例演示

    • 假设系统有3台机组（成本分别为100、150、200元/MWh），2个时段（负荷为300MW、500MW）。
    • 初始RMP仅包含机组1，求解得 \(\pi_1 = 100, \pi_2 = 100\)。
    • 子问题中机组2的检验数：时段1为 \(150-100=50 > 0\)，时段2为 \(150-100=50 > 0\)，暂不添加；机组3检验数同理。
    • 扩展RMP加入机组2后重新求解，对偶变量更新，最终机组3检验数仍为正，算法终止。

总结
列生成算法通过分解思想，将复杂调度问题转化为主问题与子问题的交替求解，显著减少计算负担，尤其适用于高维电力系统优化问题。

列生成算法在电力系统经济调度问题中的应用示例 题目描述 电力系统经济调度问题旨在确定各发电机组的出力水平，在满足电力负荷需求、机组技术约束和网络传输限制的前提下，使总发电成本最小。该问题可建模为大规模线性规划模型，但机组数量众多时模型变量维度高，直接求解效率低。列生成算法通过将问题分解为主问题（满足负荷需求）和定价子问题（生成新机组运行方案），逐步迭代优化，有效降低计算复杂度。 解题步骤 问题建模 设电力系统有 \( T \) 个时段，\( N \) 个发电机组，第 \( i \) 台机组的发电成本为 \( c_ i \)（元/MWh），最大/最小出力为 \( P_ {i}^{\max} \)、\( P_ {i}^{\min} \)，爬坡速率限制为 \( R_ i \)。 主问题目标函数为最小化总成本： \[ \min \sum_ {t=1}^{T} \sum_ {i=1}^{N} c_ i P_ {i,t} \] 约束包括： 负荷平衡：\( \sum_ {i=1}^{N} P_ {i,t} = D_ t \quad (\forall t) \)（\( D_ t \) 为第 \( t \) 时段负荷）； 机组出力范围：\( P_ {i}^{\min} \leq P_ {i,t} \leq P_ {i}^{\max} \)； 爬坡约束：\( |P_ {i,t} - P_ {i,t-1}| \leq R_ i \)。 列生成框架设计 限制主问题（RMP） ：初始仅包含部分机组运行方案（如基荷机组），通过列生成逐步添加新列（即机组的出力计划）。 定价子问题 ：对每台未激活的机组，求解其降低成本的潜力。子问题目标为计算检验数 \( \sigma_ i = c_ i - \pi_ t \)，其中 \( \pi_ t \) 是负荷平衡约束的对偶变量。若 \( \sigma_ i < 0 \)，则生成该机组的新运行方案加入主问题。 迭代求解过程 步骤1 ：求解初始RMP（如仅包含部分机组），得到对偶变量 \( \pi_ t \)。 步骤2 ：对每台机组求解子问题： \[ \min \left\{ c_ i - \pi_ t \mid P_ {i}^{\min} \leq P_ {i,t} \leq P_ {i}^{\max},\ |P_ {i,t} - P_ {i,t-1}| \leq R_ i \right\} \] 若目标值 \( \sigma_ i < 0 \)，则生成对应出力序列 \( \{P_ {i,t}\} \) 作为新列加入RMP。 步骤3 ：更新RMP，重新求解并对偶变量，重复步骤2直至所有 \( \sigma_ i \geq 0 \)（满足最优性条件）。 关键技术细节 初始列生成 ：可优先添加成本低、调节灵活的机组（如燃气机组）以加速收敛。 约束处理 ：爬坡约束在子问题中通过动态规划求解，确保时序可行性。 终止条件 ：当所有机组检验数非负时，当前解即为全局最优。 实例演示 假设系统有3台机组（成本分别为100、150、200元/MWh），2个时段（负荷为300MW、500MW）。 初始RMP仅包含机组1，求解得 \( \pi_ 1 = 100, \pi_ 2 = 100 \)。 子问题中机组2的检验数：时段1为 \( 150-100=50 > 0 \)，时段2为 \( 150-100=50 > 0 \)，暂不添加；机组3检验数同理。 扩展RMP加入机组2后重新求解，对偶变量更新，最终机组3检验数仍为正，算法终止。 总结 列生成算法通过分解思想，将复杂调度问题转化为主问题与子问题的交替求解，显著减少计算负担，尤其适用于高维电力系统优化问题。