Q学习（Q-Learning）算法的原理与价值迭代过程

题目描述
Q学习是一种经典的免模型强化学习算法，用于解决马尔可夫决策过程（MDP）问题。其核心目标是学习一个动作价值函数Q(s, a)，表示在状态s下执行动作a后，遵循当前策略所能获得的累积期望奖励。Q学习通过与环境交互逐步优化Q函数，最终得到最优策略，而无需已知环境的动态特性（如状态转移概率）。

解题过程

1. 问题建模
   • 将问题抽象为MDP：定义状态空间S、动作空间A、即时奖励函数R(s, a)和折扣因子γ（通常取0.9~0.99）。
   • 目标：学习最优Q函数Q*(s, a)，满足贝尔曼最优方程：

\[ Q^*(s, a) = \mathbb{E}\left[ R(s, a) + \gamma \max_{a'} Q^*(s', a') \right] \]

 其中s'为执行动作a后的新状态。

2. 算法初始化

   • 初始化Q表：构建一个|S|×|A|的表格，所有Q(s, a)值初始化为0或随机小数。
   • 设置超参数：学习率α（如0.1）、探索率ε（如0.1）、训练回合数。

3. 时序差分更新

   • 从初始状态开始，在每一步交互中：
     • 动作选择：以ε概率随机选择动作（探索），否则选择当前Q表中最优动作（利用）。
     • 执行动作：在状态s执行动作a，观测奖励r和新状态s'。
     • Q值更新：根据时序差分误差调整Q值：

\[ Q(s, a) \leftarrow Q(s, a) + \alpha \left[ r + \gamma \max_{a'} Q(s', a') - Q(s, a) \right] \]

   其中$r + \gamma \max_{a'} Q(s', a')$为TD目标，表示当前估计的累积奖励；差值（TD误差）用于修正Q值的偏差。

4. 策略优化与收敛
   • 通过大量训练，Q表逐渐逼近真实Q*函数。
   • 最终策略直接取每个状态下使Q值最大的动作：\(\pi^*(s) = \arg\max_a Q(s, a)\)。
   • 收敛性保障：在满足所有状态-动作对无限次访问的条件下，Q学习能以概率1收敛到最优解。

关键点说明

• 免模型特性：算法仅需与环境交互获取(s, a, r, s')样本，无需已知状态转移概率。
• 探索-利用权衡：ε-贪婪策略平衡对新动作的探索与当前最优动作的利用。
• 离线学习：即使动作选择策略不是最优，Q学习仍能学习最优价值（异策略学习）。