深度学习中优化器的SGD with Projected Gradient（带梯度投影的随机梯度下降）算法原理与实现细节

题目描述
SGD with Projected Gradient 是一种带约束优化的随机梯度下降变体，核心思想是在参数更新后，将参数投影到可行域（如满足边界约束的集合）中。该算法适用于训练带有显式约束（如非负权重、范数约束）的深度学习模型，例如非负矩阵分解、带约束的强化学习策略等。

解题过程

1. 问题定义
   • 标准SGD的更新规则为：\(\theta_{t+1} = \theta_t - \eta \nabla L(\theta_t)\)，其中 \(\eta\) 是学习率，\(\nabla L(\theta_t)\) 是梯度。
   • 若优化问题带有约束（如 \(\theta \in C\)，\(C\) 是可行域），直接更新可能违反约束。投影梯度法在SGD步骤后增加投影操作：

\[ \theta_{t+1} = \Pi_C \left( \theta_t - \eta \nabla L(\theta_t) \right) \]

 其中 $ \Pi_C $ 是将参数投影到集合 $ C $ 的最近点的算子。

2. 投影操作的意义

   • 投影定义为：\(\Pi_C(\theta) = \arg\min_{z \in C} \| z - \theta \|^2\)，即找到 \(C\) 中与 \(\theta\) 欧氏距离最近的点。
   • 例如，若约束为权重非负（\(C = \{ \theta \mid \theta \geq 0 \}\)），则投影操作等价于将负权重置零：\(\Pi_C(\theta) = \max(0, \theta)\)。

3. 投影的计算方法（常见可行域）

   • 非负约束：对每个参数分量，若 \(\theta_i < 0\)，则设 \(\theta_i = 0\)。
   • 区间约束（如 \(a \leq \theta \leq b\)）：将分量裁剪到区间内。
   • L2球约束（如 \(\| \theta \|_2 \leq r\)）：若参数范数超过 \(r\)，则缩放为 \(\theta \leftarrow r \cdot \theta / \| \theta \|_2\)。
   • 复杂约束（如半定规划）需专用优化库（如CVXPY）求解。

4. 算法流程

   • 输入：初始参数 \(\theta_0\)，学习率 \(\eta\)，可行域 \(C\)。
   • 循环（每步采样小批量数据）：
     1. 计算梯度估计：\(g_t = \nabla L(\theta_t)\)。
     2. SGD更新：\(\theta_{t+1/2} = \theta_t - \eta g_t\)。
     3. 投影：\(\theta_{t+1} = \Pi_C(\theta_{t+1/2})\)。
   • 输出：满足约束的最终参数 \(\theta_T\)。

5. 实际实现示例（非负约束的PyTorch代码）

   import torch
   
   # 定义带非负约束的线性模型
   model = torch.nn.Linear(10, 1)
   optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01)
   
   for epoch in range(100):
       # 前向传播与损失计算
       loss = ...  # 假设已定义
       optimizer.zero_grad()
       loss.backward()
       optimizer.step()  # 标准SGD更新
   
       # 投影步骤：将权重裁剪到非负
       with torch.no_grad():
           for param in model.parameters():
               param.clamp_(min=0)  # 等价于非负投影
   

   • 注：复杂约束需自定义投影函数替换 clamp_。

6. 理论保证与注意事项

   • 在凸问题中，投影梯度法能收敛到约束下的最优解。
   • 非凸问题（如神经网络）中，虽无全局最优保证，但可确保解始终满足约束。
   • 学习率需谨慎选择，过大可能导致投影后震荡。

总结
SGD with Projected Gradient 通过简单直接的投影步骤，将约束优化融入随机梯度下降，是处理显式约束问题的实用工具。其效率高度依赖于投影的计算成本，因此在设计约束时应优先选择易投影的可行域（如箱型约束）。