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高斯-克朗罗德积分法在带峰值函数积分中的应用

**高斯-克朗罗德积分法在带峰值函数积分中的应用** **题目描述**：计算定积分 \( I = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \)，其中被积函数 \( f(x) \) 在区间内存在一个或多个尖锐的峰值（例如高斯函数 \( e^{-100x^2} \) 在 \( x=0 \) 附近急剧变化）。峰值会导致传统数值积分方法（如均匀节点的牛顿-科特斯公式）在峰值区域采样不足，从而产生较大误差。高斯-克朗罗德积分法通过结合高精度的高斯求积节点和额外的误差估计节点，实现对峰

2025-11-08 23:43:12

基于深度学习的图像描述生成算法：Show, Attend, and Tell

**基于深度学习的图像描述生成算法：Show, Attend, and Tell** **题目描述** 图像描述生成（Image Captioning）是计算机视觉与自然语言处理（NLP）的交叉任务，旨在为输入图像生成一句自然语言描述。例如，给定一张猫在沙发上的图片，模型应输出“A cat is sleeping on a sofa”。“Show, Attend, and Tell”是2015年提出的经典算法，它首次将注意力机制（Attention Mechanism）引入图像描述生成，通

2025-11-08 23:37:50

高斯-拉盖尔求积公式在放射性衰变链模型积分中的应用

**高斯-拉盖尔求积公式在放射性衰变链模型积分中的应用** **题目描述** 考虑放射性衰变链模型中的核素浓度变化问题。设核素A衰变为核素B，其衰变常数为λ_A，核素B进一步衰变为核素C，衰变常数为λ_B。在初始时刻t=0，仅有核素A存在，浓度为N_A(0)=N_0，核素B和C的浓度均为0。核素B的浓度随时间变化的解析解为： \[ N_B(t) = \frac{\lambda_A N_0}{\lambda_B - \lambda_A} \left( e^{-\lambda_A t} - e

2025-11-08 23:32:33

高斯-勒让德求积公式在带端点奇异性函数积分中的正则化变换技巧

**高斯-勒让德求积公式在带端点奇异性函数积分中的正则化变换技巧** **题目描述** 计算定积分 \( I = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \)，其中被积函数 \( f(x) \) 在端点 \( x = \pm 1 \) 处具有奇异性（例如 \( f(x) = \frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}} \)，且 \( g(x) \) 光滑）。高斯-勒让德求积公式在端点处无节点，直接应用会因奇异性导致精度下降。需通过正则化变换消除奇异性，再应用高斯-勒让德公

2025-11-08 23:27:15

基于对比学习的图像自监督表征学习算法：BYOL（Bootstrap Your Own Latent）

**基于对比学习的图像自监督表征学习算法：BYOL（Bootstrap Your Own Latent）** ### 题目描述 BYOL是一种**自监督学习算法**，用于在没有人工标注标签的情况下学习图像的有效表征。其核心思想是：通过两个神经网络（在线网络和目标网络）的交互，让同一张图像的不同增强视图在表征空间中尽可能接近，从而学习到对图像变换鲁棒的特征表示。与之前的对比学习算法（如MoCo、SimCLR）不同，BYOL**不依赖负样本**，仅通过优化正样本的一致性实现表征学习。

2025-11-08 23:16:36

分块矩阵的预处理共轭梯度法解对称正定线性方程组

**分块矩阵的预处理共轭梯度法解对称正定线性方程组** **题目描述** 考虑对称正定线性方程组 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)，其中 \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) 是对称正定矩阵。当 \( A \) 是大型稀疏矩阵时，直接解法（如Cholesky分解）可能因填充现象而效率低下。预处理共轭梯度法（PCG）通过引入预处理子 \( M \) 来加速收敛，其中 \( M \) 近似于 \( A \) 且易于求逆。若 \( A

2025-11-08 23:11:16

哈希算法题目：设计一个哈希映射，使用开放地址法（线性探测）解决冲突

**哈希算法题目：设计一个哈希映射，使用开放地址法（线性探测）解决冲突** ### 题目描述设计一个哈希映射（HashMap），支持以下操作： - `put(key, value)`：插入键值对。若键已存在，则更新对应的值。 - `get(key)`：返回键对应的值；若键不存在，返回 `-1`。 - `remove(key)`：删除键值对。要求： 1. 使用**开放地址法（线性探测）**解决哈希冲突。 2. 哈希表需支持动态扩容（当负载因子超过阈值时，容量

2025-11-08 23:00:34

区间动态规划例题：最小窗口子序列问题（字符串匹配最小窗口）

**区间动态规划例题：最小窗口子序列问题（字符串匹配最小窗口）** **题目描述** 给定一个字符串 `S` 和一个字符串 `T`，找出 `S` 中包含 `T` 所有字符的最短连续子串（窗口），并返回该子串。如果不存在这样的子串，返回空字符串。要求时间复杂度尽可能低。 **示例** - 输入：`S = "abcdebdde"`, `T = "bde"` - 输出：`"bcde"`（最短匹配窗口为 `"bcde"`，而非 `"bdde"`，因为前者更短） --- **解题思路*

2025-11-08 22:44:26

独立成分分析（ICA）算法的原理与信号分离过程

**独立成分分析（ICA）算法的原理与信号分离过程** **题目描述** 独立成分分析（Independent Component Analysis, ICA）是一种用于从混合信号中分离出独立源信号的盲源分离技术。假设观测信号由多个统计独立的非高斯源信号线性混合而成，ICA的目标是通过估计一个分离矩阵，使得分离后的信号尽可能统计独立。典型应用包括音频信号分离、脑电图（EEG）信号去噪等。 **解题过程** **1. 问题建模** 假设有 \(n\) 个观测信号 \( \

2025-11-08 22:33:46

高斯-切比雪夫求积公式在带端点奇异性函数积分中的正则化变换技巧

**高斯-切比雪夫求积公式在带端点奇异性函数积分中的正则化变换技巧** **题目描述** 计算积分 \[ I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \] 其中被积函数在端点 \(x = \pm 1\) 处具有奇异性（分母为零），但 \(f(x)\) 在 \([-1, 1]\) 上光滑。直接使用数值积分方法（如牛顿-科特斯公式）在奇点附近会失效。高斯-切比雪夫求积公式天然适用于此类带权函数 \(\frac{1}{\sqrt{1

2025-11-08 21:29:08

带限制条件的最大子数组和（限制子数组必须包含至少k个元素）

**带限制条件的最大子数组和（限制子数组必须包含至少k个元素）** **题目描述** 给定一个整数数组 `nums` 和一个整数 `k`（`k ≥ 1`），要求找到一个连续子数组，使得该子数组的和最大，并且子数组的长度至少为 `k`。例如，对于 `nums = [1, 2, 3, -4, 5]`，`k = 2`，最大和为 `1 + 2 + 3 = 6`（子数组 `[1, 2, 3]` 长度为 3 ≥ 2）。 **解题过程** 1. **问题分析** 如果没有长度限制，最大子

2025-11-08 21:18:24

自适应辛普森积分法在带峰值函数积分中的局部加密策略

**自适应辛普森积分法在带峰值函数积分中的局部加密策略** **题目描述** 计算定积分 \( I = \int_a^b f(x) \, dx \)，其中被积函数 \( f(x) \) 在积分区间 \([a, b]\) 内存在一个或多个陡峭的峰值（即函数值在局部区间内急剧变化）。峰值区域通常只占积分区间的一小部分，但若采用均匀步长的积分方法（如复合辛普森公式），需要在全区间使用极小的步长才能捕捉峰值特征，计算效率低下。自适应辛普森积分法通过动态调整步长，仅在峰值附近进行局部加密，从而在保证

2025-11-08 20:57:02

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