高斯-拉盖尔求积公式在放射性衰变链模型积分中的应用 题目描述 考虑放射性衰变链模型中的核素浓度变化问题。设核素A衰变为核素B，其衰变常数为λ_ A，核素B进一步衰变为核素C，衰变常数为λ_ B。在初始时刻t=0，仅有核素A存在，浓度为N_ A(0)=N_ 0，核素B和C的浓度均为0。核素B的浓度随时间变化的解析解为： \[ N_ B(t) = \frac{\lambda_ A N_ 0}{\lambda_ B - \lambda_ A} \left( e^{-\lambda_ A t} - e^{-\lambda_ B t} \right) \] 现需计算核素B在时间区间 [ 0, ∞)内的总衰变次数，即积分： \[ I = \int_ 0^{\infty} \lambda_ B N_ B(t) \, dt \] 该积分要求高精度，因为λ_ A和λ_ B可能非常接近（如λ_ A=0.1, λ_ B=0.1001），导致被积函数在特定区间呈现剧烈变化。使用高斯-拉盖尔求积公式进行数值计算。 解题过程 积分变换适配权函数 高斯-拉盖尔公式适用于积分形式： \[ \int_ 0^{\infty} e^{-t} f(t) \, dt \approx \sum_ {i=1}^n w_ i f(t_ i) \] 其中t_ i和w_ i是n阶拉盖尔多项式的节点和权重。原积分需转换为该标准形式。提取核素B的表达式： \[ I = \frac{\lambda_ A \lambda_ B N_ 0}{\lambda_ B - \lambda_ A} \int_ 0^{\infty} \left( e^{-\lambda_ A t} - e^{-\lambda_ B t} \right) dt \] 直接应用高斯-拉盖尔公式需构造f(t)，使得e^{-t} f(t)匹配被积函数。通过变量缩放实现：令s = αt，选择α使指数项对齐e^{-t}。 缩放因子选择与函数重构 选择缩放因子α = min(λ_ A, λ_ B)，例如α=λ_ A（假设λ_ A<λ_ B）。令s=λ_ A t，则dt=ds/λ_ A，积分变为： \[ I = \frac{\lambda_ A \lambda_ B N_ 0}{\lambda_ B - \lambda_ A} \cdot \frac{1}{\lambda_ A} \int_ 0^{\infty} \left( e^{-s} - e^{-(\lambda_ B/\lambda_ A) s} \right) ds \] 化简后： \[ I = \frac{\lambda_ B N_ 0}{\lambda_ B - \lambda_ A} \int_ 0^{\infty} e^{-s} \left[ 1 - e^{-(\lambda_ B/\lambda_ A - 1)s} \right ] ds \] 此时积分已化为标准形式，其中f(s) = 1 - e^{-(\lambda_ B/\lambda_ A - 1)s}。 高斯-拉盖尔公式应用 使用n阶高斯-拉盖尔求积公式： \[ I \approx \frac{\lambda_ B N_ 0}{\lambda_ B - \lambda_ A} \sum_ {i=1}^n w_ i \left[ 1 - e^{-(\lambda_ B/\lambda_ A - 1)s_ i} \right ] \] 其中s_ i和w_ i为预计算的拉盖尔节点和权重。当λ_ B≈λ_ A时，指数项(\lambda_ B/\lambda_ A - 1)接近0，需高阶n（如20以上）以精确捕捉函数变化。 误差控制与节点数优化 由于衰变常数接近时被积函数近似线性（泰勒展开：1 - e^{-εs} ≈ εs），但s较大时线性误差累积。通过增加n并比较相邻阶数结果的相对变化（如|I_ n - I_ {n+1}|/|I_ n| < 10^{-8}）确保收敛。若λ_ A=0.1、λ_ B=0.1001，n=15时误差约10^{-6}，n=25时可降至10^{-10}。 解析验证 原积分可解析求解： \[ I = \frac{\lambda_ A \lambda_ B N_ 0}{\lambda_ B - \lambda_ A} \left( \frac{1}{\lambda_ A} - \frac{1}{\lambda_ B} \right) = \lambda_ A N_ 0 \] 与数值结果对比验证正确性，确保算法无实现错误。